Question

Mostrar, usando o método dedutivo, a seguinte equivalência:


(p <—> (p ^ ~ p)) <=> ~ p.


Eu vi pela tabela verdade que são equivalentes, mas não tô conseguindo pelo método dedutivo. Me ajudem! Fico muito agradecida!

Se puder dizer as propriedades que usou, será melhor ainda .

Answer 1

$p_i \leftrightarrow (p\land \¬p)_{ii}\Leftrightarrow \¬p\\\\\\\textsf{Desenvolvendo o lado esquerdo, chegarei ao direito. Iniciando por ii, temos:}\\\\\\p \land \¬p \Leftrightarrow F ~~~~\textsf{Complementares}$

$p \leftrightarrow F \Leftrightarrow (p \rightarrow F)_1\land (F\rightarrow p)_2~\textsf{Reescrita da Bicondicional}\\\\\\\textsf{Primeira parte:}_1\\\\p \rightarrow F \Leftrightarrow \¬p \lor F~~\textsf{Lei da implicancia}\\\\ \¬p \lor F \Leftrightarrow \boxed{\¬p}~~\textsf{Identidade}$

$\textsf{Segunda parte:} _2\\\\F \rightarrow p \Leftrightarrow \¬F \lor p ~~\textsf{Lei da implicancia} \\\\V \lor p \Leftrightarrow \boxed{V}~~\textsf{Dominacao}\\\\\\\textsf{Unindo as duas partes: }\\\\\¬p \land V \Leftrightarrow \¬p ~~\textsf{Identidade}\\\\\textsf{Assim: }\\\\\¬p \Leftrightarrow \¬p\\\\\textsf{Ou seja, } \\\\p \leftrightarrow (p \land \¬p) \Leftrightarrow \¬p~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\blacksquare$