Question

Mostrar que se uma aplicação linear entre dois espaços de Banach é aberta, então ela é sobrejetora.

Answer 1

Resposta:

Note que a imagem de uma aplicação linear é um subespaço do contradomínio e sendo f aberta, então f[X] é um aberto de Y.

Como 0 pertence a qualquer subespaço e f[X] é aberto, existe uma bola de raio r>0 contida em f[X]. Seja y pertencente a Y, então ry/2||y|| tem norma r/2 e pertence a bola de raio r.

Por fim, como f[X] é subespaço, temos que y pertence a f[X]. Sendo y arbitrário, então f[X] é igual a Y.

Explicação: