Question

mostrar que se ab ≡ 0 (mód. m) e se o mdc (a, m) = 1, então b ≡ 0 (mód. m)

Answer 1

Se mdc(a,m) = 1, existem r e s inteiros, pelo Teorema de Bézout, tais que

$ar+ms = 1\\\\ar-1=sm$

Então, por definição: $ar\equiv1(mod~m)$
_______________

Temos que

$ab\equiv0(mod~m)~e~ar\equiv1(mod~m)$

Multiplicando os dois lados da primeira congruência por r:

$ab\cdot r\equiv0\cdot r(mod~m)\\\\(ar)\cdot b\equiv0(mod~m)$

Como ar ≡ 1(mod m), podemos substituir ar por 1 na congruência módulo m:

$1\cdot b\equiv0(mod~m)\\\\\boxed{\boxed{b\equiv0(mod~m)}}$

OBS: Esse é um teorema bem útil, escrito na forma de congruências

Na parte de divisibilidade, o vemos assim: Sejam a, b, c inteiros, c diferente de zero. Se c divide (ab) e c não divide a, então c divide b