Question

Mostrar que os polinômios 1 - t, (1 - t)², (1 - t)³ e 1 geram P3(R).

Answer 1

A base canónica de $P_3(\mathbb{R})$ é $\mathcal{B}=\{1,t,t^2,t^3\}$. Portanto, qualquer elemento de $P_3(\mathbb{R})$ pode ser escrito na forma:

$a + bt+ct^2+dt^3,$

onde $a,b,c,d\in\mathbb{R}$.

Façamos então uma combinação linear dos polinómios indicados:

$x(1-t)+y(1-t)^2+z(1-t)^3+w,$

onde $x,y,z,w\in\mathbb{R}$.

Expandindo as potências e reagrupando os termos, obtemos:

$x(1-t)+y(1-t)^2+z(1-t)^3+w =\\\\= x-xt + y(1-2t+t^2)+z(1-3t+3t^2-t^3) + w =\\\\= (x+y+z+w) + (-x-2y-3z)t + (y+3z)t^2 - zt^3.$

Podemos então fazer a correspondência:

$\begin{cases}a = x+y+z+w\\b = -x-2y-3z\\c = y+3z\\d = -z\\\end{cases}.$

Resolvendo de baixo para cima, obtemos:

$\begin{cases}w = x+y+z-a = -c-d-b-a\\x =-2y-3z-b = -2(c+3d)+3d-b = -2c-3d-b\\y=c-3z=c+3d\\z=-d\\\end{cases}.$

Assim, obtemos um polinómio de $P_3(\mathbb{R})$ na base canónica, pelo que o conjunto $\{1-t,(1-t)^2,(1-t)^3,1\}$ gera, de facto,  $P_3(\mathbb{R})$.

Answer 2

Um espaço vetorial é um conjunto equipado com as operações de soma de vetores e de multiplicação por escalar e que satisfazem as propriedades usuais dos espaços(soma e subtração). Portanto, os polinômios 1 - t, (1 - t)², (1 - t)³ e 1 geram P3(R).

Espaço vetorial dos polinômios

Um espaço vetorial (real) significa, por definição, qualquer conjunto V junto com as operações:

• ${+_V}: V\times V\to V$

• ${\times_V}: \mathbb R\times V \to V$

de tal modo que

1. +V é associativo e comutativo e tem um elemento neutro, e tem inversos para cada elemento de V.
2. ×V associa-se à multiplicação real: a × v(b × v$v$) = ab×v$v$ para todo a, b ∈ R e $v$∈V
3. ×V distribui sobre +V no sentido de que a×v($v$+vw)=(a×v$v$)+V(a×Vw) e (a+b)×Vv=(a×Vv)+V(b× Vv)para todo a,b∈R e v,w∈V.

Acontece que se pegarmos o conjunto de todos os polinômios junto com a adição de polinômios e a multiplicação de um polinômio por um número, a estrutura resultante satisfará essas condições. Portanto, é um espaço vetorial.

Sendo assim podemos resolver o exercício.

$\begin{cases}a\left(\:1-t\:\right)+b\left(\:1-t\:\right)^2+c\left(\:1-t\:\right)^3+d\left(\:1\:\right)\:=\:0&\\ a-at+b\left(1-2t+t^2\right)+c\left(\:1-\:t+3t^2-t^3\right)+d\:=\:0&\\ a-at+b-2bt+bt^2+c-3ct+3ct^2-ct^3+d\:=\:0&\end{cases}$

$-c.t^3+\left(b+3c\right).t^2+\left(-a-2b-3c\right).t+\left(a+b+c+d\right)=0\cdot t^3+0\cdot t^2+0\cdot t+0$

Daí,

$\begin{cases}-c=0\Rightarrow c=0\:\\ b+3c=0\Rightarrow b=0\:\\ -a-2b-3c=0\Rightarrow a=0\:\\ a+b+c+d=0\Rightarrow d=0\end{cases}$

Saiba mais sobre espaço vetorial dos polinômios:https://brainly.com.br/tarefa/5618292

#SPJ2