Question

Mostrar que o conjunto A = {(3,1), (6,3)}, gera o R2.

Answer 1

Resposta:   $(x,\,y)=(x-2y)\cdot (3,\,1)+\dfrac{1}{3}(-x+3y)\cdot (6,\,3)$

para todo $(x,\,y)\in\mathbb{R}^2.$

Logo, o conjunto $A=\{(3,\,1),\,(6,\,3)\}$ gera o $\mathbb{R}^2.$

Explicação passo a passo:

Para isso, basta mostrar que dado um $(x,\,y)\in\mathbb{R}^2,$ podemos escrevê-lo como combinação linear dos vetores $(3,\,1)$ e $(6,\,3),$ isto é, existem $\alpha$ e $\beta$ escalares reais tais que

     $(x,\,y)=\alpha\cdot (3,\,1)+\beta\cdot (6,\,3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\,y)=(3\alpha,\,\alpha)+(6\beta,\,3\beta)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\,y)=(3\alpha+6\beta,\,\alpha+3\beta)$

Daí montamos o seguinte sistema:

     $\left\{\begin{array}{lc}3\alpha+6\beta=x&\quad\mathrm{(i)}\\\\ \alpha+3\beta=y&\quad\mathrm{(ii)} \end{array}\right.$

Observamos que o sistema acima é possível e determinado para as variáveis $\alpha$ e $\beta,$ pois

     $\det\begin{bmatrix}3&6\\ 1&3 \end{bmatrix}=3\cdot 3-1\cdot 6=3\ne 0.$

Logo, o conjunto $A=\{(3,\,1),\,(6,\,3)\}$ gera todo o $\mathbb{R}^2,$ como queríamos demonstrar.

Caso queira explicitar os escalares $\alpha$ e $\beta,$ basta resolver o sistema.

Isole $\alpha$ na equação (ii) e substitua na equação (i):

     $\alpha=y-3\beta\qquad\mathrm{(iii)}$

     $\Longrightarrow\quad 3(y-3\beta)+6\beta=x\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3y-9\beta+6\beta=x\\\\ \Longleftrightarrow\quad - 9\beta+6\beta=x-3y\\\\ \Longleftrightarrow\quad - 3\beta=x-3y\\\\ \Longleftrightarrow\quad \beta=\dfrac{x-3y}{-3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \beta=\dfrac{1}{3}(-x+3y)\qquad\checkmark$

Substituindo em (iii), encontramos

     $\Longrightarrow\quad \alpha=y-3\cdot \bigg(\dfrac{1}{3}(-x+3y)\bigg)\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \alpha=y-(-x+3y)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \alpha=y+x-3y\\\\ \Longleftrightarrow\quad \alpha=x-2y\qquad\checkmark$

Então, podemos escrever

     $(x,\,y)=(x-2y)\cdot (3,\,1)+\dfrac{1}{3}(-x+3y)\cdot (6,\,3)$

para todo $(x,\,y)\in\mathbb{R}^2.$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!