Question

mostrar por indução finita p(n):1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/n(n+1)=n/n(n+1)?​

Answer 1

Explicação passo a passo:

OBS: Essa igualdade que você escreveu não é verdadeira. Pode ter ocorrido um erro de digitação no finalzinho em que você escreve o lado direito dela. Basta remover aquele $n$ que está multiplicando no denominador da fração. Agora vou iniciar a soluçaõ com essa correção, ok?! Vamos lá!

Considere o conjunto

$A = \{n \in \mathbb{N^*}: \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+ \cdots + \frac{n}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1} \}$

Note que $1 \in A$. De fato,

$\dfrac{1}{1\cdot(1+1)} = \dfrac{1}{1\cdot2}$

Seja $k \in A$. Então,

$\dfrac{1}{1\cdot2} +\dfrac{1}{2\cdot3} +\cdots+\dfrac{1}{k(k+1)} =\dfrac{k}{k+1}$ (nossa hipótese)

Agora precisamos mostrar que o sucessor de $k$ também pertence a $A$.

Ou seja, mostrar que

$\dfrac{1}{1\cdot2}+\cdots+\dfrac{1}{k(k+1)} +\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k+1}{k+2}$ (Tese)

Partindo de,

$\dfrac{1}{1\cdot2} +\cdots +\dfrac{1}{k(k+1)}$

Vamos somar o termo $\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$

$\dfrac{1}{1\cdot2}+\cdots+\dfrac{1}{k(k+1)} +\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$

Por hipótese, temos que

$\dfrac{1}{1\cdot2} +\cdots+\dfrac{1}{k(k+1)} =\dfrac{k}{k+1}$

Então,

$\dfrac{1}{1\cdot2}+\cdots+\dfrac{1}{k(k+1)} +\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} =\dfrac{k}{k+1}+ \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$

Agora vamos focar em desenvolver o lado direito da igualdade.

Somando as frações temos que,

$\dfrac{k(k+1)(k+2) + k+1}{(k+1)(k+1)(k+2)} = \dfrac{(k+1)[k(k+2)+1]}{(k+1)(k+1)(k+2)}$

Podemos cancelar um $(k+1)$

$\dfrac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k^2 +2k +1}{(k+1)(k+2)} =\dfrac{(k+1)(k+1)}{(k+1)(k+2)}$

Finalmente, cortando mais uma vez o $(k+1)$ chegamos em,

$\dfrac{k+1}{k+2}$

O sucessor de $k$ também pertence ao nosso conjunto $A$.

Portanto, $A = \mathbb{N^*}$

Como queríamos mostrar.