Question

Mostrar em R2 , por meio da multiplicação de matrizes, que uma rotação de 30°
seguida de uma rotação de 60º resulta numa rotação de 90º.

Answer 1

A matriz de rotação em R2 é da seguinte forma:

$R = \left[\begin{array}{ccc}cos( \alpha) &-sen(\alpha)\\sen(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]$

Vamos rotacionar a matriz $\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]$ primeiro em 30° e depois em 60°.

Rotacionando em 30° obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc}cos(30)&-sen(30)\\sen(30)&cos(30)\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =$
$\left[\begin{array}{ccc} \frac{ \sqrt{3} }{2} &- \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =$
$\left[\begin{array}{ccc} \frac{ \sqrt{3}x-y }{2} \\ \frac{x+ \sqrt{3}y }{2} \end{array}\right]$

Agora, com o resultado acima, rotacionaremos em 60°:

$\left[\begin{array}{ccc}cos(60)&-sen(60)\\sen(60)&cos(60)\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc} \frac{ \sqrt{3}x-y }{2} \\ \frac{x+ \sqrt{3}y }{2} \end{array}\right] =$
$\left[\begin{array}{ccc} \frac{ \sqrt{3}x-y- \sqrt{3}x-3y }{4} \\ \frac{3x- \sqrt{3}y+x+ \sqrt{3}y }{4} \end{array}\right] =$
$\left[\begin{array}{ccc}-y\\x\end{array}\right]$

Agora, vamos rotacionar a matriz inicial em 90°:

$\left[\begin{array}{ccc}cos(90)&-sen(90)\\sen(90)&cos(90)\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =$
$\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =$
$\left[\begin{array}{ccc}-y\\x\end{array}\right]$

Perceba que os resultados deram iguais. Portanto, está mostrado o que se pede.