Matemática, perguntado por Liziamarcia, 5 meses atrás

Mostrar algébrica e geometricamente o efeito sofrido pelo triângulo cujos vértices são A = (1,3); B = (4,1) e C=(2,-3) quando submetido a matriz quadrada M 2x2 de a11= 2, a12=1, a21 = -1 e a22 = 3

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver as devidas transformações lineares, concluímos que os novos pontos do novo triângulo é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \triangle_{A_{n}B_{n}C_{n}} = \Large\begin{cases} A_{n} = (5, 8)\\B_{n} = (9, -1)\\C_{n} = (1, -11)\end{cases}\end{gathered}$}$

Sejam os vértices:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \triangle_{ABC} = \Large\begin{cases} A = (1, 3)\\B = (4, 1)\\C = (2, -3)\end{cases}\end{gathered}$}$

Transformando cada um dos pontos em vetores posição, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{p_{A}} = \begin{bmatrix} 1\\3\end{bmatrix},\:\:\:\vec{p_{B}} = \begin{bmatrix} 4\\1\end{bmatrix}\:\:\:e\:\:\:\vec{p_{C}} = \begin{bmatrix} 2\\-3\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

Desta forma podemos montar a matriz formada pelos vetores posição que são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} M = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2\\3 & 1 & -3\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

Sabemos que a matriz de transformação dada é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} T = \begin{bmatrix} 2 & 1\\-1 & 3\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

Para obtermos os novos pontos devemos multiplicar a matriz de transformação pela matriz formada pelos vetores posição, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} T\cdot M = \begin{bmatrix} 2 & 1\\-1 & 3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2\\3 & 1 & -3\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{bmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot3 & 2\cdot4 + 1\cdot 1 & 2\cdot2 + 1\cdot(-3)\\(-1)\cdot1 + 3\cdot3 & (-1)\cdot4 + 3\cdot1 & (-1)\cdot2 + 3\cdot(-3)\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{bmatrix} 2 + 3 & 8 + 1 & 4 - 3\\-1 + 9 & -4 + 3 & -2 - 9\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{bmatrix} 5 & 9 & 1\\8 & -1 & -11\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:T\cdot M = \begin{bmatrix} 5 & 9 & 1\\8 & -1 & -11\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

Agora devemos recuperar os vetores posições finais:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{p_{A_{n}}} = \begin{bmatrix} 5\\8\end{bmatrix},\:\:\:\vec{p_{B_{n}}} = \begin{bmatrix}9\\-1 \end{bmatrix}\:\:\:e\:\:\:\vec{p_{C_{n}}}\begin{bmatrix} 1\\-11\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

✅ Montando os novos vértices do novo triângulo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \triangle_{A_{n}B_{n}C_{n}} = \Large\begin{cases} A_{n} = (5, 8)\\B_{n} = (9, -1)\\C_{n} = (1, -11)\end{cases}\end{gathered}$}$

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}$