Matemática, perguntado por jessicamarinhodasilv, 4 meses atrás

monte a equação onde as raízes são X'= -8 e X"=+8

Soluções para a tarefa

Respondido por ZeroRigel

Resposta:

x² - 64 = 0

Explicação passo-a-passo:

✍️ Entendendo equações de segundo grau.

Uma equação de segundo grau possui duas raízes, geralmente denominadas x' e x''.
Para ser uma equação de segundo grau, é obrigatória a existência do termo "ax²", onde "a" é um coeficiente qualquer e "x²" a variável.
Quando temos a equação "ax²+bx+c=0", geralmente há o uso da fórmula de Bhaskara. $\blue{\boxed{x = \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2a} }} \\ \blue{\boxed{ \Delta = {b}^{2} - 4ac}}$
Quando ∆ > 0, existirão duas raízes reais distintas, ou seja, x' ≠ x''.
Quando ∆ = 0, existirão duas raízes iguais, ou apenas uma raíz, ou seja, x' = x''.
Quando ∆ < 0, não existirão raízes reais.

→ Para encontrarmos uma equação qualquer que possua duas raízes x' = -8 e x" = 8, teremos que analisar o seguinte:

Deve ser uma equação de segundo grau.
Deve ter o coeficiente "c".

→ Percebemos com a explicação que a única forma de encontrarmos essa equação é tendo ∆>0, portanto, numa equação, teríamos:

$x = \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2a} \: \: \mathtt{com \:\Delta > 0 }$

→ O valor de "a" pode ser qualquer um, portanto, podemos escolher.

→ Considerando "a" = 1, teremos:

$x = \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2a} \red{\rightarrow }x = \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2}$

Sabendo que -b vai alterar o valor de √∆, e consequentemente deixando as raízes da equação distintas, não conseguiríamos encontrar numa equação onde existisse "b" as raízes x' = -8 e x" = 8, portanto, "b" não deve existir nessa equação.

→ Considerando "b" = 0, teremos:

$x = \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2} \red{\rightarrow}x = \frac{ \pm \sqrt{ \Delta} }{2}$

→ Agora, devemos considerar o valor de ∆ para que x = ±8, portanto:

$\frac{ \pm \sqrt{ \Delta} }{2} = 8 \\ \red{\rightarrow }\frac{ \pm \sqrt{ \Delta} }{ \blue{\ 2} {}^{ \orange{\hookrightarrow }} } = 8 \\ \red{\rightarrow} \pm \sqrt{ \Delta} = 8 \red{\times }2 \\ \red{\rightarrow }{ \pm \sqrt{ \Delta} } = 16 \\ \red{\rightarrow } \Delta = {16}^{2} \\ \red{\rightarrow } \Delta = 256$

Sabendo que o valor de ∆ é b² - 4ac, encontraremos:

$\Delta = 256 \\ \red{\rightarrow } {b}^{2} - 4ac = 256 \\ \red{\rightarrow } {0}^{2} - 4 \times 1 \times c = 256 \\ \red{\rightarrow } 0 - 4c = 256 \\ \red{\rightarrow } \blue{\boxed{ - 4}} {}^{ \orange{\hookrightarrow }} c = 256 \\ \red{\rightarrow } c = \frac{256}{ - 4} \\ \red{\rightarrow } \green{ \boxed{ c = - 64}}$

Portanto, a equação que possui as raízes x' = -8 e x" = 8 é:

$\blue{\boxed{ {x}^{2} - 64 = 0}}$

ESPERO TER AJUDADO, QUALQUER DÚVIDA É SÓ FALAR!!!

! - Essa não é a única forma de fazer o exercício.

Na verdade, essa forma é bem mais difícil, de um jeito mais fácil, pensariamos o seguinte:

Para existir duas raízes, devemos ter x².
Para x = ±8, x² deve ser igual a 64, pois √64 é ±8
Portanto: x² = 64.
Trocando o 64 de membro: x² - 64 = 0.

Mari2Pi: Boa resposta. E substituindo as fórmulas da Soma e do Produto, podemos usar direto x² - Sx + P = 0

ZeroRigel: Perfeito!

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do segundo grau - equação quadrática - procurada é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf eq: x^{2} - 64 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam as raízes da equação do segundo grau:

$\Large\begin{cases} x' = -8\\x'' = 8\end{cases}$

Para montar a equação do segundo grau a partir de suas raízes podemos utilizar uma das seguintes estratégias:

Calculando o produto das diferenças entre a incógnita "x" e cada uma das raízes. Neste caso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'') = 0\end{gathered}$}$