Question

Modelagem Matemática: Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y^2 - 3, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler:

10,615

10,415

10,515

10,215

10,315

Answer 1

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o valor numérico desta equação diferencial é de aproximadamente 10,215.

O método de Euler, batizado em homenagem a Leonhard Euler, é um procedimento de integração numérica para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO) a partir de um determinado valor inicial. O método de Euler é o mais simples dos métodos numéricos para resolver um problema de valor inicial, mas sendo um dos mais, deve ter um erro em relação ao seu valor original.

Este método é usado para encontrar o valor aproximado de uma equação diferencial. A expressão que nos permite encontrar o valor aproximado de uma equação diferencial é:

$\sf \boxed{ \boxed{ \bf y _ {k + 1} = y _ k + h (x _ 0, y _ 0 )}}$

Onde $y _ {k + 1}$ é o número de interações e $h$ é o incremento.

Em nosso problema temos a equação diferencial $y ' = y ^2 - 3$, sendo seu valor inicial igual a $y(0)=3$ e queremos encontrar o valor de $y (0{.}4)$ , considere o incremento igual a h = 0,1.

Primeiro vamos encontrar o valor da nossa primeira interação que nossa equação diferencial tem, pelo valor da primeira interação vamos substituir os valores de x e y em nossa função e o valor que obtivermos será substituído em nossa equação.

• Encontrando os primeiros valores da nossa função:

$f(0,3) = 3 ^2 - 3= 6$

Calculamos o valor da nossa primeira interação que nossa função tem:

$y _ {1} = 3+ 0{,}1* 6 \\ \\ y _ {1} = 3{,}6$

Como encontramos o valor de nossa primeira interação, continuaremos a encontrar o valor de nossa segunda interação, portanto, devemos substituir o valor de nossa primeira interação para cada variável em nossa função.

Ops: Para encontrar o valor da primeira interação da variável "x" devemos somar o valor do incremento mais o valor inicial que "x" tem em nossa equação diferencial.

$f(0{,}1,3{,}6) = 3{,}6^2 - 3= 9{,}96$

• Calculamos o valor da segunda interação:

$y _ {2} = 3{,}6+ 0{,}1* 9{,}96 \\ \\ y _ {2} = 4{,}596$

Já estamos na metade da solução aproximada da nossa equação diferencial, só precisamos encontrar o valor das duas últimas interações. Seguindo os mesmos passos que fizemos anteriormente em nossos cálculos.

$f(0{,}2,4{,}596) = 4{,}596 ^2 - 3= 18{,}123$

Este valor é apenas uma aproximação, pois levamos em consideração apenas as três primeiras casas decimais do nosso valor. Calculando a terceira interação:

$y _ {3} =4{,}596+ 0{,}1* 18{,} 123 \\ \\ y _ {3} = 6{,}408$

Esta é a penúltima interação da nossa equação diferencial, a próxima interação é a solução aproximada da nossa equação diferencial. Calculamos o valor da nossa função substituindo os valores da interação que acabamos de obter:

$f(0{,}3,6{,}408) = 6{,}408 ^2 - 3= 38{,}062$

• Calculando a última interação:

$y _ {4} =6{,}408+ 0{,}1* 38{,} 062 \\ \\ \boxed{\boxed{\bf y _ {4} \cong 10 {,}215}}$

Feitos os cálculos, concluímos que o valor numérico dessa equação diferencial é 10.215.

Veja mais sobre o assunto de equações diferenciais pelo método de Euler nos links a seguir:

• https://brainly.com.br/tarefa/16193922

Bons estudos e espero que te ajude :-)

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