Question

MESTRES DO CÁLCULO!! :UM DESAFIO PARA VCS!!
Seja y=f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação 3x²-4xy+y²=-16.Sabendo que y=f(x)>0,para todo x∈D(f),e que f admite uma reta r tangente ao seu gráfico no ponto P(x,y) paralela à reta 3y=x-5,determine:
a)O ponto P
b)a equação de r

Answer 1

Como nós sabemos:

A derivada de uma função em um determinado ponto, nos fornecem a inclinação da reta tangente.

Então:

$m = \frac{dF(x)}{dx} = \frac{dy}{dx}$

Derivando a equação em relação a "x"

3x² -4xy +y² = -16


2.3x -4x'y + -4xy' +2y.y' = 0

$\\ 6x -4y -4x. \frac{dy}{dx} +2y. \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ -4x. \frac{dy}{dx} +2y. \frac{dy}{dx} = 4y-6x \\ \\ \frac{dy}{dx} ( 2y-4x) = 4y-6x \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{4y-6x}{ 2y-4x} \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{2(2y-3x)}{ 2(y-2x)} \\ \\ \frac{dy}{dx} =\frac{2y-3x}{ y-2x}$

Como a equação da reta "r" é paralela a 3y = x-5

Ambas equações possuem a mesma inclinação.

Isolando "3" da equação. Teremos o valor de "m"

$\\ 3y = x-5 \\ \\ y = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

Lembrando que, y = mx+b


$m = \frac{1}{3}$

Substituindo "m" por dy/dx

$\\ \frac{1}{3} = \frac{2y-3x}{y-2x} \\ \\ \left \{ {{2y-3x=1} \atop {y-2x=3}} \right.$

Resolvendo o sistema.

Isolaremos "y" na eq de baixo:

$\\ y-2x=3 \\ \\ y = 3+2x$

Substituindo y = 3+2x na primeira eq:

$\\ 2y-3x=1 \\ \\ 2(3+2x) -3x =1 \\ \\ 6+4x-3x=1 \\ \\ 6+x=1 \\ \\ x=-5$

Então:
$\\ y = 3+2x \\ \\ y = 3+2.(-5) \\ \\ y = -7$

Logo,

$P(x,y) = ( -5 , - 7)$
-----------------------------------------

A equação da reta será:


$r: y- y_{o} = m(x- x_{o})$

Onde xo e yo é o ponto P(x,y)

$\\ y-( -7 ) = \frac{1}{3} (x-( -5)) \\ \\ y+7 = \frac{1}{3} (x+5) \\ \\ y + 7 = \frac{x}{3} + \frac{5}{3} \\ \\ \frac{x}{3} -y +\frac{5}{3} - 7 = 0 \\ \\ \frac{x}{3} -y - \frac{16}{3} = 0$