Question

MELHOR RESPOSTA, CORAÇÃO E 5 ESTRELAS PRA QUEM EXPLICAR O PASSO A PASSO DA QUESTÃO ( Fuvest/04 ) A figura abaixo representa duas polias circulares C 1 e C 2 de raios R 1 = 4 cm e R 2 = 1 cm, apoiadas em uma superfície plana em P 1 e P 2 , respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo - se que a distância entre os pontos P 1 e P 2 é 3 raiz de 3 cm, determinar o comprimento da correia. GABARITO:6 ( RAIZ DE 3 + PI).

Answer 1

Olá ! 

Note que são duas circunferências, dessa forma a distância da correia na parte de cima é a mesma na parte de baixo, note que seria impossível uma engrenagem com tamanhos de correia diferente de cima com baixo .... 

assim seria : 

3√3 + 3√3 = 6√3 

Agora o x da questão é a circunferência, aparentemente parece meia volta em cada, mais não é, pois uma é maior que a outra assim temos uma diferença . 

Note que a parte maior de C1, é replemento da parte menor de C2 ... 

Agora basta descobrirmos qual o ângulo de C2 ou C1 ... 

Basta usarmos tangente : 

tg = Co/Ca 

tg = 3/3√3               (multiplico  por  √3/√3)

tg = 3√3/3√3.√3

tg = 3√3/3.3 

tg = 3√3/9 

tg = √3/3  

veja na tabela de tg que esse valor corresponde a 30º ... 

Agora note que em C2 temos 2 . tg  √3/3 

assim ... 2 . 30º = 60º 

somando com 2 . 90º = 180º 

60º + 180º = 240º é o ângulo sem correia no C2 e ao mesmo tempo o com correia no C1 

360 - 240 = 120º é o ângulo com a correia no C2  

Agora note que em C1 temos um ângulo de 240º 

e em C2 temos um ângulo de 120º 

Assim podemos usar trigonometria : 

240º = 4π/3  com raio 4 

120º = 2π/3  com raio 1 

Agora temos : 

P C1 =4 . (4π/3) 

P C1 = 16π/3 

agora do C2 

P C2 = 1.(2π/3) 

P C2 = 2π/3 

Agora basta somar tudo .... 

P t = 6√3 + 16π/3 + 2π/3 

P t = 6√3 + 18π/3 

P t = 6√3 + 6π 

P t = 6.(√3 + π)  cm                                                   ok 

Answer 2

Boa noite

O comprimento da correia é dado por

 arco FHD +segmento DC +arco CE+segmento EF

Os trapézios ABCD  e ABEF são congruentes.

Sabemos que AD=4 e BC=1

Uma reta paralela a CD passando por B gera o segmento BG ,temos então

GD=BC=1    ;    BG=CD=3√3     e    AG = AD-GD = 4-1=3

No triângulo BAG temos tg α =AG /BG ou tg α = 3 / 3√3 = √3 ⇒α= 60º

Ângulo BAF =Ângulo BAG  =  60º ⇒ Ângulo DAF = 120º logo arco FD=120º

então arco EC=120º  e  arco FHD =360º-120º =240º  

Aplicando estes dados vem

$\frac{ 240^{o} }{ 360^{o} } *2* \pi *4+3 \sqrt{3} + \frac{ 120^{o} }{ 360^{o} }*2* \pi *1+3 \sqrt{3} \\ \\ \frac{2}{3}*8 \pi + \frac{1}{3}*2 \pi +2*3 \sqrt{3} = \frac{16 \pi }{3}+ \frac{2 \pi }{3}+6 \sqrt{3} = \frac{18 \pi }{3} +6 \sqrt{3} \\ \\ 6 \pi +6 \sqrt{3} =6( \pi + \sqrt{3} )$

Ver anexo,
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