Question

Meia vida de uma substancia radioativa é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. daqui a quantos anos 32 gramas de uma substancia, cuja meia-vida é de 6,5 anos serão reduzidos a 2^-29 gramas?

Answer 1

Seja $m(t)$ a função que fornece a massa (em gramas) de uma substancia radioativa ao sofrer decaimento após se passarem $t$ anos. Esta função possui a forma

$m(t)=m_{0}\cdot 2^{kt}$

onde $m_{0}$ é a massa inicial.


Se, para uma determinada substância, a meia-vida é de $6,5$ anos, e a massa inicial é

$m_{0}=32\text{ gramas}$

então, para $t=6,5$


$m(6,5)=\dfrac{1}{2}\cdot m_{0}\\ \\ \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\cdot 2^{k\cdot 6,5}=\dfrac{1}{2}\cdot \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\\ \\ 2^{k\cdot 6,5}=\dfrac{1}{2}\\ \\ k\cdot 6,5=\mathrm{\ell og}_{2}\left(\dfrac{1}{2} \right )\\ \\ k\cdot 6,5=\mathrm{\ell og}_{2}\left(2^{-1} \right )\\ \\ k\cdot 6,5=-1\\ \\ k=\dfrac{-1}{6,5}\\ \\ k=-\dfrac{2}{13}\mathrm{\,\,(ano^{-1})}$


A questão pede o valor de $t$ para o qual tem-se

$m(t)=2^{-29}\\ \\ \\ m_{0}\cdot 2^{kt}=2^{-29}\\ \\ 32\cdot 2^{kt}=2^{-29}\\ \\ 2^{5}\cdot 2^{kt}=2^{-29}\\ \\ 2^{5+kt}=2^{-29}\\ \\ \\ 5+kt=-29\\ \\ kt=-29-5\\ \\ kt=-34\\ \\ t=\dfrac{-34}{k}\\ \\ t=\dfrac{-34}{\left(-\frac{2}{13} \right )}\\ \\ t=-34\cdot \left(-\dfrac{13}{2} \right )\\ \\ t=221\text{ anos}$