Question

Mee ajudaaa!
(UE – CE Modificado) Sejam as matrizes $M\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{3} &q\\n&\sqrt{3}\\\end{array}\right]$ e $P\left[\begin{array}{ccc}6&6\\6&6\\\end{array}\right]$. Se $M$ · $M^{t}$$= P$ , em que $M^{t}$ é a matriz transposta de M, então o valor de n² + q² é:

a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 18

Answer 1

• O que é uma matriz transposta?

Dada uma matriz A, sua transposta ($A^T$) é a matriz obtida através da troca das linhas pelas colunas de A.

• Como multiplicar matrizes?

Sejam as matrizes A com m linhas e n colunas e a matriz B com n linhas e p colunas.

A matriz $\bold{C=A~.~B}$ terá m linhas e p colunas e cada um de seus elementos será igual a

$c_{ik}=a_{i1}~.~b_{1k}+a_{i2}~.~b_{2k}+...+a_{in}~.~b_{nk}$

No entanto, para que seja possível multiplicar duas matrizes, é necessário que número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.

A matriz resultante do produto entre as matrizes terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

• Resolvendo o problema

$M~.~M^T=P\\\\\\\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}&q\\\\n&\sqrt{3}\end{array}\right]~.~\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}&n\\\\q&\sqrt{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}6&6\\\\6&6\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}~.~\sqrt{3}+q~.~q&\sqrt{3}~.~n+q~.~\sqrt{3}\\\\n~.~\sqrt{3}+\sqrt{3}~.~q&n~.~n+\sqrt{3}~.~\sqrt{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}6&6\\\\6&6\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}(\sqrt{3})^2+q^2&\sqrt{3}~.~(n+q)\\\\\sqrt{3}~.~(n+q)&(\sqrt{3})^2+n^2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}6&6\\\\6&6\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{cc}3+q^2&\sqrt{3}~.~(n+q)\\\\\sqrt{3}~.~(n+q)&3+n^2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}6&6\\\\6&6\end{array}\right]$

Se $3+q^2=6$ e $3+n^2=6$, então, $3+q^2=3+n^2 \quad \Rightarrow \quad q=n$

Logo,

$\sqrt{3}~.~(n+q)=6\\\\\sqrt{3}~.~(n+n)=6\\\\\sqrt{3}~.~2n=6\\\\\sqrt{3}~.~n=3\\\\n=\dfrac{3}{\sqrt{3}}\\\\n=\dfrac{3}{\sqrt{3}}~.~\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\n=\dfrac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}\\\\n=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}\\\\\boxed{\boxed{n=q=\sqrt{3}}}$

Assim,

$n^2+q^2=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2=3+3=6$

• Conclusão

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

• Para saber mais

• Matriz transposta

https://brainly.com.br/tarefa/26138353

• Multiplicação de matrizes

https://brainly.com.br/tarefa/28262046