Question

Me ajuuudaa, na questão 40

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Clara, que a resolução é simples, embora, numa primeira vista, não pareça.
Pede-se para resolver a questão "40" do anexo, em que há duas inequações com o seguinte formado:

a) (2x+1)*(x+2) ≤ 0

Veja: temos aí em cima uma inequação-produto, ou seja, temos o produto entre duas equações, cujo resultado terá que ser MENOR OU IGUAL a zero. Temos f(x) = 2x+1 e temos g(x) = x+2, cujo produto f(x)*g(x) terá que ser MENOR ou IGUAL a zero.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função das raízes encontradas, estudaremos a variação de sinais de cada equação e, no fim, daremos o resultado do produto entre as duas equações, que será o conjunto-solução (domínio) da inequação originalmente dada.
Assim, teremos:

f(x) = 2x+1 ---> raízes: 2x+1 = 0 ---> 2x = - 1 ---> x = -1/2
g(x) = x+2 ---> raízes: x+2 = 0 ----> x = - 2

Agora vamos estudar a variação de sinais e, no fim, ver qual é o resultado do produto de f(x)*g(x), que será o conjunto-solução (domínio) da inequação original. Assim:

a) f(x) = 2x+1 ... - - - - - - - - - - - - - - - (-1/2) + + + + + + + + + + + + + + ...
b) g(x) = x+2 ....- - - - - - - (-2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +.....
c) a*b . . . . . . . .+ + + + +(-2)- - - - - - (-1/2) + + + + + + + + + + + + + ...... 

Agora veja: como queremos que o produto entre f(x) e g(x) seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos interessa onde tiver sinal de MENOS (ou zero) no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto entre f(x) e g(x).
Assim, o intervalo que nos dará o conjunto-solução (domínio) será este:

-2 ≤ x ≤ - 1/2  -------- Esta é a resposta para a questão do item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ - 1/2}

Ou ainda, também se quiser, o domínio também poderá ser apresentado do modo seguinte, o que significa o mesmo:

D = [-2; -1/2].

b) (x-1)*(2-x)*(-x+4) < 0

Aqui temos outra inequação-produto, constituída pelo produto de três equações, cujo resultado terá que ser MENOR do que zero.
Temos f(x) = x - 1; g(x) = 2 - x; e h(x) = -x + 4 . 
A exemplo da questão do item "a", vamos encontrar as raízes de cada uma das equações para, em função delas (raízes) estudarmos a variação de sinais de cada equação.
Assim, teremos:

f(x) = x-1 ---> raízes: x-1 = 0 ----> x = 1
g(x) = 2-x ---> raízes 2-x = 0 ---> -x = - 2 ---> x = 2
h(x) = -x+4 ---> raízes: -x+4 = 0 ---> -x = - 4 ---> x = 4

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas:

a) f(x) = x-1 ..... - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + + + + + + + + + + +...
b) g(x) = 2-x.....+ + + + + + + + + + + + + (2) - - - - - - - - - - -- - - -  ...
c) h(x) = -x+4... + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (4)- - - - - - -  ...
d) a*b*c . . . . . .- - - - - - - - (1)+ + + + + (2)- - - - - - - - 4)+ + + + + +..

Agora veja: como queremos que o produto f(x)*g(x)*h(x) < 0, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "d" acima, que nos fornece o resultado do produto entre as três inequações. Assim, o domínio será: x < 1 , ou 2 < x < 4 -------- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈R | x < 1 , ou 2 < x < 4}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderia ser apresenta do modo seguinte, o que significa o mesmo:

D = (-∞; 1) ∪ (2; 4)

É isso aí.
Deu pra entender bem o desenvolvimento das duas questões?

OK?
Adjemir.