Question

Me ajudemmmmmm :)
Reta tangente e maximo e minimo absoluto

Answer 1

Questão 1: Temos a seguinte curva:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf xy + e {}^{y} = 5 \: \: \bullet$

A questão nos pede para determinar o valor de A do ponto Po(A,-3ln(5)), sendo este um ponto que a reta tangente da curva acima passa.

Primeiro vamos ter que encontrar a reta tangente a essa curva, utilizando o ponto P1(0, ln(5)). Para determinar a reta tangente devemos partir da derivada desta curva, pois fazendo isto encontraremos a inclinação (coeficiente angular da reta tangente), já que a derivada é dita minimamente como o coeficiente angular da reta tangente.

$\: \: \: \: \: \: \sf \frac{d}{dx}(x.y) + \frac{d}{dx} (e {}^{y} ) = \frac{d}{dx}(5)$

Observe que vamos ter que derivar implicitamente, isto é, considerar y uma função de x e utilizar a regra da cadeia sempre que derivarmos uma função que contenha "y".

$\left[\sf \frac{d}{dx} (x).y + x. \frac{d}{dx} (y) \right] + \sf e {}^{y} . \frac{dy}{dx} = 0\\ \\ \sf 1.y + x. \frac{dy}{dx} + e {}^{y} . \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} . \left[x + e {}^{y} \right] = - y \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x + e {}^{y} } }$

Tendo encontrado a derivada, devemos agora substituir o valor do ponto P1(0, ln(5)) para termos o valor numérico do coeficiente angular.

$\sf \frac{dy}{dx} = - \frac{ ln(5)}{0 + e {}^{ ln(5)} } \: \: \to \: \: \frac{dy}{dx} = - \frac{ ln(5)}{e {}^{ln(5)} } \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = - \frac{ ln(5)}{e {}^{ log_{e}(5) } } \: \: \to \: \: \frac{dy}{dx} = - \frac{ln(5)}{5}$

Portanto este é o coeficiente angular da reta. Utilizando a equação fundamental da reta, obtemos que a mesma é:

$\: \: \: \: \: \: \sf y - y_{o} = \underbrace{ \frac{dy}{dx} }_{m}.( x - x_{o} ) \\ \: \: \: \: \: \sf y - ln(5) = - \frac{ln(5)}{5} .(x - 0) \\ \\ \boxed{\sf y = - \frac{x.ln(5)}{5} + ln(5)}$

Por fim, temos que substituir o ponto Po(A, -3ln(5)) na equação e descobrir o valor de A.

$\: \: \: \sf - 3ln(5) = - \frac{ A. ln(5)}{5} + ln(5) \\ \\ \sf - 3ln(5) = - \frac{A.ln(5) + 5ln(5)}{5} \\ \\ \sf - 15ln(5) = - A.ln(5) + 5ln(5) \\ \\ \sf - Aln(5) = - 15ln(5) - 5ln(5) \\ \\ \sf - Aln(5) = - 20ln(5) \\ \\ \sf - A = - \frac{20ln(5)}{ln(5)} \\ \\ \boxed{ \sf A = 20}$

Portanto temos que A vale 20.

Questão 2: Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \bullet \sf f(x) = 16x + \frac{25}{x} , \: x \in[1,5] \bullet$

Para encontrar o valor mínimo absoluto desta função, devemos buscar todos os pontos críticos desta função primeiramente, ou seja, derivar e igualar a função a 0.

$\sf \frac{df(x)}{dx} = 16 - \frac{25}{x {}^{2} } \: \: \to \: \: 16 - \frac{25}{x {}^{2} } = 0 \\ \\ \sf \frac{25}{x {}^{2} } = 16 \: \: \to \: x{}^{2} = \frac{25}{16} \\ \\ \sf x = \sqrt{ \frac{25}{16} } \: \: \to \: \: x = \pm \frac{5}{4}$

Dado que o intervalo é dado só engloba números positivos, devemos considerar apenas o x positivo como um ponto crítico. Tendo feito isto, vamos substituir os valores do extremo do intervalo na função e o ponto critico encontrado.

$\sf f(x) = 16. \frac{5}{4} + \frac{25}{ \frac{5}{4} } \: \: \to \: \: f(x) = 40 \\ \\ \sf f(x) = 16. 1 + \frac{25}{1} \: \: \to \: \: f(x) = 41 \\ \\ \sf f(x) = 16.5 + \frac{25}{5} \: \: \to \: \: f(x) = 85$

Como x = 5/4 foi o menor valor obtido, temos então que o máximo absoluto ocorre no ponto:

$\sf P\left(\frac{5}{4},40\right)\to \: mínimo \: absoluto$

Espero ter ajudado