Question

me ajudemm
Seja o conjunto B dado por

B={(1,−1,2),(2,1,0),(−1,5,1)}

uma base do espaço vetorial R3.

Escrevendo o vetor v=(−8,21,0) na base B obtemos:
a. vB=(4,−1,−2)


b.
vB=(−2,−1,4)

c. vB=(−1,−2,4)


d. vB=(4,−2,−1)


e. vB=(−2,4,−1)


f. vB=(−1,4,−2)

Answer 1

Resposta:

b.

Explicação passo-a-passo:

Sendo uma base, qualquer vetor do $\mathbb{R}^3$ pode ser escrito como combinarão linear dos elementos de B. Dessa forma, existem 3 escalares $a_{1,2,3}$ tais que:

$(-8,21,0)=a_1(1,-1,2)+a_2(2,1,0)+a_3(-1,5,1)$

O vetor $v$ escrito na base B é igual a $v]_B=(a_1,a_2,a_3)$. Vamos então desenvolver a combinação linear acima para achar o valor das escalares:

$(-8,21,0)=(a_1,-a_1,2a_1)+(2a_2,a_2,0)+(-a_3,5a_3,a_3)$

$(-8,21,0)=(a_1+2a_2-a_3,-a_1+a_2+5a_3,2a_1+a_3)$

Daí tiramos o seguinte sistema de equações lineares:

$\left\{\begin{matrix}a_1+2a_2-a_3=-8\\-a_1+a_2+5a_3=21\\2a_1+a_3=0\end{matrix}\right.$

Vai agora da sua escolha o método de resolução desse sistema (Regra de Cramer, escalonamento, etc). Irei optar pelo método de substituição. Da 3º equação tiramos que $a_3=-2a_1$. Substituindo na 2º equação:

$-a_1+a_2+5\cdot(-2a_1)=21$

$-a_1+a_2-10a_1=21$

$a_2=21+11a_1$

Substituindo $a_2$ e $a_3$ na 1º equação:

$a_1+2(21+11a_1)-(-2a_1)=-8$

$a_1+42+22a_1+2a_1=-8$

$25a_1=-50$

$a_1=-2$

Concluindo assim que $a_2=21-22=-1$ e $a_3=-2\cdot(-2)=4$, logo $v]_B=(-2,-1,4)$.