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Determine o centro e o raio da circunferência x²+y²+20x+4y+23=0
Soluções para a tarefa
Vamos separar em partes que têm x e y.
x² + 20x + y² + 4y + 23 = 0
Reparando no termo x² + 20x, podemos reescrevê-lo como (x + 10)² - 100
Reparando no termo y² + 4y, podemos reescrevê-lo como (y + 2)² - 4
A expressão fica:
(x + 10)² - 100 + (y + 2)² - 4 + 23 = 0
(x + 10)² + (y + 2)² = 81
Agora podemos afirmar que o centro é (-10, -2) e o raio 9
Para encontrar o centro do raio, devemos, antes de tudo completar quadrado. Com isso,
x² + 20 x + y² + 4 y + 23 = 0
x² + 20 x = ( x + 10 )² - 100 ==> Para completar quadrado eu dividi o 20 por 2 e encontramos o termo 10. Sabemos que ( x - 10 )² = x² - 20 x + 100, de forma a tirarmos o 100, subtrairmos 100. De maneira análoga iremos fazer com y² + 4 y.
y² + 4 y = ( y + 2 )² - 4
∴
( x + 10 )² - 100 + ( y + 2 )² - 4 + 23 = 0
( x + 10 )² + ( y + 2 )² - 81 = 0
( x + 10 )² + ( y + 2 )² = 81 ===> Essa é a equação da circunferência que encontramos.
A equação geral de uma circunferência é dado por r² = ( x - xo )² + ( y - yo )², onde xo e yo são os pontos da origem da circunferência e r o raio. Dessa forma, temos que os centros são xo = - 10 e yo = - 2.
r² = 81
r = 9
C ( - 10, - 2 )