Question

ME AJUDEMM PFVR Seja x um arco do 3 quadrante do ciclo trigonométrico de tal modo que sen x = -3/5 Dessa maneira, encontre o valor de sn x + cos x + tg x + cotg x + sec x + cossec x

Answer 1

Se x está no terceiro quadrante, ele está no intervalo:

$\pi \leq x \leq \dfrac{3\pi}{2}$

OBS: neste quadrante tanto o seno quanto o cosseno são negativos.

A partir da relação fundamental da trigonometria, vamos encontrar o cosseno:

$sen^2x+cos^2x=1$

Sabemos que sen x = -3/5

$(-\dfrac{3}{5})^2+cos^2x=1\\\\cos^2x=1 - \dfrac{9}{25} \\\\cos^2x = \dfrac{16}{25} \\\\cosx = \pm \sqrt{\dfrac{16}{25}} \\\\cosx = -\dfrac{4}{5}$

Agora que já sabemos tanto o seno quanto o cosseno, podemos encontrar a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante:

$tg x = \dfrac{senx}{cosx}\\\\\\cotgx = \dfrac{1}{tgx}\\\\\\secx = \dfrac{1}{cosx}\\\\\\cossec x = \dfrac{1}{senx}$

• Tangente:

$tg x = \dfrac{-\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}} = \dfrac{3}{4}$

• Cotangente:

$cotgx = \dfrac{1}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{4}{3}$

• Secante:

$secx= \dfrac{1}{-\dfrac{4}{5}} = -\dfrac{5}{4}$

• Cossecante:

$cossecx= \dfrac{1}{-\dfrac{3}{5}} = -\dfrac{5}{3}$

Agora que sabemos todos os valores precisos, vamos efetuar a adição:

$sen x + cos x + tg x + cotg x + sec x + cossec x \\\\-\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{3} -\dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{3}$

MMC (3, 4, 5):

$\begin{array}{r|l}3, 4, 5&2\\3, 2, 5&2\\3, 1, 5&3\\1, 1, 5&5\\1, 1, 1\end{array} \\\\2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

MMC (3, 4, 5) = 60.

Vamos então dividir 60 por cada um dos numeradores e depois multiplicar pelo numerador:

$-\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{3} -\dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{-36-48+45+80-75-100}{60}\\\\\\\\\dfrac{-36-48+45+80-75-100}{60} = \dfrac{-134}{60} = \boxed{\dfrac{-67}{30}}$

RESPOSTA: sen x + cos x + tg x + cotg x + sec x + cossec x é igual a -67/30.

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