Question

Me ajudemm, não consegui resolver

Answer 1

Vamos seguir a ordem crescente das questões, então vamos partir para a questão 2).

• Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\rightarrow 2} f(x) = \begin{cases}\frac{3x^2 - 5x - 2}{x - 2} \: \: \: para \: \: x < 2 \\ 3 - ax - x {}^{2} \: \: para \: \: x \geqslant 2\end{cases}$

Devemos lembrar que uma função que é contínua quando a mesma cumpre 3 condições, que são:

$1) \: f(x) \rightarrow definida \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 2)\lim_{x \rightarrow a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \rightarrow a {}^{ - } }f(x) \\ \\ 3)\lim_{x \rightarrow a} = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Partindo dessas condições, vamos calcular o valor de "a":

❑ Restrição 1:

Primeiro vamos ver se a função é contínua quando x é igual a 2, para isso confira na tabela e observe que temos o sinal de x ≥ 2 (maior ou IGUAL), isso quer dizer que a função é sim definida nesse ponto, então:

$f(2) = 3 - ax - x {}^{2}$

❑ Restrição 2:

Agora devemos observar se os limites laterais quando "x" tende à direita e à esquerda de 2 vai ser iguais:

$\lim_{x \rightarrow2 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \rightarrow {2}^{ - } }f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x \rightarrow2 {}^{ + }} 3 - ax - x {}^{2} = \lim_{x \rightarrow {2}^{ - } } \frac{3x {}^{2} - 5x - 2 }{x - 2} \\ \\ \lim_{x \rightarrow2 {}^{ + } } 3 - a.2 - 2 {}^{2} = \lim_{x \rightarrow2 {}^{ - } } \frac{(3x + 1). \cancel{( x - 2)}}{ \cancel{x - 2}} \\ \\ 3 - 2a - 4 = 3.2 + 1 \\ \\ - 2a - 1 = 6 + 1 \\ \\ - 2a = 7 + 1 \\ \\ - 2a = 8 \\ \\ a = \frac{8}{ - 2} \\ \\ \boxed{a = - 4} \\ \\ \lim_{x \rightarrow2 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \rightarrow2 {}^{ - } }f(x) = 7 \rightarrow \exists \lim_{x \rightarrow2}f(x)$

Agora vamos ver a terceira restrição, partindo de que temos o valor de "a":

❑ Restrição 3:

$\lim_{x \rightarrow2}f(x) = f(x) \\ \\ 7 = 3 - ax - x {}^{2} \\ \\ 7 = 3 - ( - 4).2 - (2) {}^{2} \\ \\ 7 = 3 + 8 - 4 \\ \\ \boxed{7 = 7}$

• A função é continua no ponto em que "x" é igual a 2.

Espero ter ajudado