Question

Me ajudem!! Valendo 30 pontos!!!
Resolva as equações trigonometricas fundamentais abaixo:
a) 2. sen(x) + √3 =0
b) 2. sen(x) -1 = 0
c) 2. √3. cos(x) + 2=0
d) 2. √2. sen(x) =2​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$2 \sin(x) + \sqrt{3} = 0 \\ 2 \sin(x) = - \sqrt{3} \\ \sin(x) = - \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Vamos lembrar do ciclo trigonométrico:

O seno é negativo para os 3° e 4° quadrantes

O cosseno é negativo para os 2° e 3° quadrantes

A tangente é negativo para os 2° e 4° quadrantes.

Sabendo que:

$\sin( \frac{\pi}{3} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Então:

Para o 3° quadrante:

$\sin(x) = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin( \frac{\pi}{3} + \pi ) = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin( \frac{4\pi}{3} ) = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ x = \frac{4\pi}{3}$

Para o 4° quadrante:

$\sin(x) = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin( \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} ) = - \frac{ \sqrt{ 3} }{2} \\ \sin( \frac{5\pi}{3} ) = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ x = \frac{5\pi}{3}$

b)

$2 \sin(x) - 1 = 0 \\ 2 \sin(x) = 1 \\ \sin(x) = \frac{1}{2}$

O seno é positivo para o 1° e 2° quadrantes:

Para o 1° quadrante:

$\sin(x) = \frac{1}{2} \\ \\ x = \frac{\pi}{6}$

Para o 2° quadrante:

$\sin(\pi - x) = \sin(x) = \frac{1}{2} \\ \sin(\pi - \frac{\pi}{6} ) = \sin( \frac{5\pi}{6} ) \\ \\ x = \frac{5\pi}{6}$

c)

$2 \sqrt{3} \cos(x) + 2= 0 \\ 2 \sqrt{3} \cos(x) = - 2 \\ \sqrt{3} \cos(x) = - 1 \\ \cos(x) = \frac{ - 1}{ \sqrt{3} } = \frac{ - \sqrt{3} }{3}$

Como não se trata de um ângulo notável, use a propriedade dos arcos:

Atenção:

Para se referir ao 2° quadrante usamos

π - a

Para se referir ao 3° quadrante usamos

π + a

Para o 2° quadrante:

$x = \pi - arc \cos( \frac{ \sqrt{3} }{3} )$

Para o 3° quadrante:

$x = \pi + arc \cos( \frac{ \sqrt{3} }{3} )$

d)

$2 \sqrt{2} \sin(x) = 2 \\ \sqrt{2} \sin(x) = 1 \\ \sin(x) = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Para o 1° quadrante:

$\sin(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ x = \frac{\pi}{4}$

Para o 2° quadrante:

$\sin(\pi - x) = \sin(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin(\pi - \frac{\pi}{4} ) = \sin( \frac{3\pi}{4} ) \\ \\ x = \frac{3\pi}{4}$