Question

- Me ajudem!!!! socorro 

O ponto do eixo Ox equidistante dos pontos
( 0, -1 ) e ( 4, 3 ) é:

Answer 1

Se um ponto $P$ é equidistante de dois pontos $A\left(x_{_{A}},\,y_{_{A}}\right)$ e $B\left(x_{_{B}},\,y_{_{B}}\right)$, então $P$ é um ponto da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ (veja a figura em anexo.: a reta mediatriz é a reta em vermelho).

A reta mediatriz é ortogonal ao segmento $\overline{AB}$ (forma um ângulo de $90^{\circ}$) e intercepta o ponto médio $M$ deste segmento.


A equação da reta mediatriz é dada por

$\boxed{y-y_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}-x_{_{B}}}{y_{_{B}}-y_{_{A}}}\cdot \left(x-x_{_{M}} \right )}$

onde

$x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2}$

são as coordenadas do ponto médio $M$ do segmento $\overline{AB}$.


$\bullet\;\;$ Calcular as coordenadas do ponto médio:

Temos, para este problema

$A\left(0,\,-1 \right ) \;\;\Rightarrow\;\; \left\{ \begin{array}{l} x_{_{A}}=0\\ y_{_{A}}=-1 \end{array} \right.\\ \\ B\left(4,\,3 \right ) \;\;\Rightarrow\;\; \left\{ \begin{array}{l} x_{_{B}}=4\\ y_{_{B}}=3 \end{array} \right.\\ \\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{0+4}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{-1+3}{2}\\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{4}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{2}{2}\\ \\ \boxed{x_{_{M}}=2,\;\;\;y_{_{M}}=1}$


Então, a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é

$y-1=\dfrac{0-4}{3-\left(-1 \right )}\cdot \left(x-2 \right )\\ \\ y-1=\dfrac{-4}{3+1}\cdot \left(x-2 \right )\\ \\ y-1=\dfrac{-4}{4}\cdot\left(x-2 \right )\\ \\ y-1=-\left(x-2 \right )\\ \\ y-1=-x+2\\ \\ y=-x+2+1\\ \\ \boxed{y=-x+3}$


O ponto $P\left(x_{_{P}},\,y_{_{P}} \right )$ procurado pertence ao eixo $Ox$. Então

$\boxed{y_{_{P}}=0}$


Substituindo as coordenadas de $P$ na equação da reta mediatriz, temos

$0=-x_{_{P}}+3\\ \\ \boxed{x_{_{P}}=3}$


O ponto procurado é $P\left(3,\,0 \right )$.