Question

Me ajudem! Sendo f(x)=1/x.(x+1), logo: f(1)+f(2)+...+f(40) É

Answer 1

$f(x)= \frac{1}{x*(x+1)}\\\\ S=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(40)=\boxed{\boxed{ \sum _{x=1}^{40} \frac{1}{x*(x+1)}}}$

decompondo em frações parciais
$\frac{1}{x*(x+1)}= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x+1} \\\\ \frac{1}{x*(x+1)}= \frac{A(x+1) + Bx}{x(x+1)} \\\\ \boxed{\boxed{1=A(x+1)+Bx}}$

encontrando os valores de A e B
fazendo x=0
1=A(0+1) + B*0
1=A+0
1= A

fazendo x= -1
1= A(-1+1)+ B*(-1)
1 = 0 -B
-1= B

então
$\frac{1}{x*(x+1)}= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x+1}\\\\ \boxed{\boxed{\frac{1}{x*(x+1)}= \frac{1}{x}- \frac{1}{x+1}}}$

temos:
$S= \sum_{x=1}^{40} \left( \frac{1}{x}- \frac{1}{x+1} \right) \to \text{serie telescopica}$

veja o que acontece quando vc vai efetuando as somas 

$f(1) + f(2) + f(3)+f(4)+... \\\\ \left( \frac{1}{1}- \frac{1}{1+1} \right) + \left( \frac{1}{2}- \frac{1}{2+1} \right) + \left( \frac{1}{3}- \frac{1}{3+1} \right) + \left( \frac{1}{4}- \frac{1}{4+1} \right)+... \\\\ 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}- \frac{1}{5}+ ....\\\\1- \frac{1}5}...$

os termos vão se cancelando e só irá sobrar o primeiro e o ultimo 
portanto

$S_n=f(1) + f(2) + f(3)+... +f(n)= 1- \frac{1}{n+1} \\\\\boxed{\boxed{S_{40}= 1- \frac{1}{40+1} = \frac{40}{41} }}$