Question

Me ajudem se puder:

Dada a função f(x) = (m -2) x² - 6x- 8, determine os valores de m, de modo que f(x)< 0 para todo x real

Answer 1

Para que isso ocorra, é necessário que o ponto máximo da parábola seja menor que zero:

$y_V<0\\\\ -\dfrac{\Delta}{4a}<0\\\\ -\dfrac{b^2-4\cdot a\cdot c}{4a}<0\\\\ -\dfrac{(-6)^2-4\cdot(m-2)\cdot(-8)}{4(m-2)}<0\\\\ -\dfrac{36+32m-64}{4m-8}<0\\\\ -\dfrac{32m-28}{4m-8}<0\\\\ -(32m-28)<4m-8\\\\ -32m+28<4m-8\\\\ -36m<-36\\\\ 36m>36\\\\ m>\dfrac{36}{36}\\\\ m>1$


Mas, para a parábola ter um ponto máximo, é necessário que $a$ seja menor que $0$:

$a<0\\\\ m-2<0\\\\ m<2$

Então:

$1<m<2$

$m\in\mathbb{R}|1<m<2$