Question

Me ajudem prfvv não consigo resolver

Answer 1

Temos o seguinte determinante:

$\sf \begin{pmatrix} \sf 4& \sf5& \sf - 3& \sf0 \\ \sf2& \sf - 1& \sf3& \sf1 \\ \sf 1& \sf - 3& \sf 2& \sf 1 \\ \sf \sf0& \sf 2& \sf - 2& \sf 5\end{pmatrix}$

A questão pede para resolvê-lo através do Teorema de Laplace, portanto vamos aceitar essa sugestão e calcular através desse método.

• O Teorema de Laplace nos diz que devemos escolher uma fila qualquer (linha ou coluna) do determinante em questão.

Para não ter trabalho, escolherei a quarta coluna, pelo motivo de haver um número "0", pois como sabemos a multiplicação de algo por "0" é igual a "0".

$\sf \begin{pmatrix} \sf 4& \sf5& \sf - 3& \red{\boxed{\sf \red{0}}} \\ \sf2& \sf - 1& \sf3& \sf \red{\boxed{1}} \\ \sf 1& \sf - 3& \sf 2& \sf \red{\boxed{ 1} }\\ \sf \sf0& \sf 2& \sf - 2& \sf \red{\boxed{5}}\end{pmatrix}$

• Após escolher essa coluna, o Teorema nos diz que devemos multiplicar cada um desses elementos (da coluna) pelo seu cofator:

$\sf 0.C_{a 14} + 1.C_{a24} + 1.C_{a34} + 5.C_{a44}$

O cálculo de cofatores, dá-se através da fórmula:

$\boxed{ \sf C_{ij} = ( - 1) {}^{i + j} .D_{ij} }$

Se você bem notar, devemos fazer mais um cálculo, que é o menor complementar (D), esse tal (D) é calculado através da exclusão da linha e coluna de onde esse número analisado se encontra.

• Cálculo de D(14):

Você deverá excluir a linha e coluna onde o número na posição (a14) se encontra.

$\sf \begin{pmatrix} \sf \cancel 4& \sf \cancel5& \sf \cancel - 3& \cancel{\sf {0}} \\ \sf2& \sf - 1& \sf3& \sf {\cancel{1}} \\ \sf 1& \sf - 3& \sf 2& \sf \cancel{1} \\ \sf \sf0& \sf 2& \sf - 2& \sf \cancel{5}\end{pmatrix}$

Note que surgiu um novo determinante (3x3), esse tipo de determinante podemos calcular através do método de Sarrus.

$\sf \begin{pmatrix} \sf2& \sf - \sf1& \sf3 \\ \sf 1& \sf- 3& \sf2 \\ \sf0& \sf2& \sf - 2 \end{pmatrix}. \sf \begin{pmatrix} \sf2& \sf- 1 \\ \sf1& \sf- 3 \\ \sf 0& \sf2 \end{pmatrix} \\ \sf D_{14} = 2.( - 3).( - 2) + ( - 1).2.0 + 3.1.2 - (0.( - 3).3 + 2.2.2 + ( - 2).1 .( - 1)) \\ \sf D_{14} = 12 + 0 + 6 - (0 + 8 + 2) \\ \sf D_{14} = 18 - 10 \\ \sf D_{14} = 8$

Vamos seguir essa lógica para o cálculo dos outros menores complementares.

• Cálculo de D(24):

$\sf \begin{pmatrix} \sf 4& \sf5& \sf - 3& \cancel{\sf {0}}\\ \sf \cancel2& \sf \cancel- 1& \sf \cancel3& \sf {\cancel{1}} \\ \sf 1& \sf - 3& \sf 2& \sf \cancel{1} \\ \sf \sf0& \sf 2& \sf - 2& \sf \cancel{5}\end{pmatrix}$

Resolvendo o determinante:

$\sf \begin{pmatrix} \sf4& \sf \sf5& \sf - 3 \\ \sf 1& \sf- 3& \sf2 \\ \sf0& \sf2& \sf - 2 \end{pmatrix} . \sf \begin{pmatrix} \sf4& \sf \sf5 \\ \sf 1& \sf- 3\\ \sf0& \sf2\end{pmatrix} \\ \sf D_{24} = 4.( - 3)( - 2) + 5.2.0 + ( - 3).1.2 - (0.( - 3).( - 3) + 2.2.4 + ( - 2).1.5) \\ \sf D_{24} = 24 + 0 - 6 - (0 + 16 - 10) \\ \sf D_{24} = 18 - 6 \\ \sf D_{24} = 12$

• Cálculo de D(34):

$\sf \begin{pmatrix} \sf 4& \sf5& \sf - 3& \cancel{\sf {0}}\\ \sf2& \sf - 1& \sf 3& \sf\cancel{1}\\ \sf \cancel1& \sf \cancel- 3& \sf \cancel2& \sf \cancel{1} \\ \sf \sf0& \sf 2& \sf - 2& \sf \cancel{5}\end{pmatrix}$

Calculando o determinante:

$\sf \begin{pmatrix} \sf4& \sf \sf5& \sf - 3 \\ \sf 2& \sf- 1& \sf3\\ \sf0& \sf2& \sf - 2 \end{pmatrix}.\sf \begin{pmatrix} \sf4& \sf 5 \\ \sf 2& \sf- 1\\ \sf0& \sf2 \end{pmatrix} \\ \sf D_{34} = 4.( - 1).( - 2) + 5.3.0 + ( - 3).2.2 - (0.( - 1).( - 3) + 2.3.4 + ( - 2).2.5)) \\ \sf D_{34} = 8 + 0 - 12 - (0 + 24 - 20) \\ \sf D_{34} = - 4 - 4 \\ \sf D_{34} = - 8$

• Cálculo de D(44):

$\sf \begin{pmatrix} \sf 4& \sf5& \sf - 3& \cancel{\sf {0}}\\ \sf2& \sf - 1& \sf 3& \sf\cancel{1}\\ \sf 1& \sf - 3& \sf 2& \sf \cancel{1} \\ \sf \sf \cancel0& \sf \cancel2& \sf \cancel - 2& \sf \cancel{5}\end{pmatrix}$

Calculando o determinante:

$\sf \sf \begin{pmatrix} \sf4& \sf \sf5& \sf - 3 \\ \sf 2& \sf- 1& \sf3 \\ \sf1& \sf - 3& \sf 2 \end{pmatrix}. \sf \sf \begin{pmatrix} \sf4& \sf \sf5 \\ \sf 2& \sf- 1\\ \sf1& \sf - 3 \end{pmatrix} \\ \sf D_{44} = 4.( - 1).2 + 5.3.1 + ( - 3).2.( - 3) - (1.( - 1).( - 3) + ( - 3).3.4 + 2.2.5) \\ \sf D_{44} = - 8 + 15 + 18 - (3 - 36+ 20) \\ \sf D_{44} = 38$

Ainda está um pouco longe de acabar, pois você deve substituir na fórmula do cofator cada um desses valores de menores complementares.

$\sf C_{ij} = ( - 1) {}^{i + j} .D_{ij} \\ \sf C_{14} = ( - 1) {}^{1 + 5} .8 \\ \sf C_{14} = - 1.8 \\ \sf C_{14} = - 8 \\ \\ \sf C_{ij} = ( - 1) {}^{i + j} .D_{ij} \\ \sf C_{24} = ( - 1) {}^{2 + 4} .12 \\ \sf C_{24} = 1.12 \\ \sf C_{24} = 12 \\ \\ \sf C_{ij} = ( - 1) {}^{i + j} .D_{ij} \\ \sf C_{34} = ( - 1) {}^{3 + 4} .( - 8) \\ \sf C_{34} = - 1. - 8 \\ \sf C_{34} = 8 \\ \\ \sf C_{44} = ( - 1) {}^{4 + 4} .29 \\ \sf C_{44} = 1.29 \\ \sf C_{44} = 38$

Agora para finalizar de fato, substitua esses valores na soma dos cofatores.

$\sf 0.C_{a 14} + 1.C_{a24} + 1.C_{34} + 5.C_{44} \\ \sf 0.(8) + 1.(12) + 1.( 8) + 5.(38) \\ \sf 0 + 12 + 8 + 190 = \boxed{ \sf210} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado