Question

me ajudem preciso de ajuda é pra hoje!!!

para cada equação abaixo, determine seus coeficientes (a,b,c) as raízes reais (x' e x'') e as coordenadas do vértice

a) x (x-6) =0

b)2x (x-4)=0

c) x²-36=0

d)x²-5x+10= 0​

Answer 1

Resposta:

vide abaixo

Explicação:

a) x.(x-6) = 0

Efetuando a multiplicação, temos uma nova equação:

$x.(x-6)=0\\x^{2}-6x=0$

Temos uma equação do segundo grau incompleta. Como uma equação do segundo grau completa é do tipo $a.x^{2} +b.x+c=0$, teremos que:

$x^{2}-6x=0\\1.x^{2}-6.x+0=0$

Dessa forma, teremos a = 1, b = - 6 e c = 0.

Encontrando as raízes, resolvendo pela equação do segundo grau incompleta, temos:

$x.(x-6)=0$

$x=0$   ou   $x-6=0$

$x=0$   ou   $x=6$

Dessa forma, as raízes reais dessa equação são x' = 0 e x''= 6.

As coordenadas do vértice são $V(x_{v} ,y_{v} )$, onde:

$x_{v}=-\frac{b}{2a}$

$x_{v}=-\frac{(-6)}{2.1}$

$x_{v}=\frac{6}{2}$

$x_{v}=3$

e

$y_{v}=-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4.a}$

$y_{v}=-\frac{((-6)^{2}-4.1.0)}{4.1}$

$y_{v}=-\frac{(36-0)}{4}$

$y_{v}=-\frac{36}{4}$

$y_{v}=-9$

Logo, as coordenadas do vértice são $x_{v}=3$  e  $y_{v}=-9$.

b) 2x.(x-4) = 0

Efetuando a multiplicação, temos uma nova equação:

$2.x.(x-4)=0\\2.x^{2}-8.x=0$

Temos uma equação do segundo grau incompleta. Como uma equação do segundo grau completa é do tipo $a.x^{2} +b.x+c=0$, teremos que:

$2.x^{2}-8.x=0\\2.x^{2}-8.x+0=0$

Dessa forma, teremos a = 2, b = - 8 e c = 0.

Encontrando as raízes, resolvendo pela equação do segundo grau incompleta, temos:

$2.x.(x-4)=0$

$x.(x-4)=0$

$x=0$   ou   $x-4=0$

$x=0$   ou   $x=4$

Dessa forma, as raízes reais dessa equação são x' = 0 e x''= 4.

As coordenadas do vértice são $V(x_{v} ,y_{v} )$, onde:

$x_{v}=-\frac{b}{2a}$

$x_{v}=-\frac{(-8)}{2.2}$

$x_{v}=\frac{8}{4}$

$x_{v}=2$

e

$y_{v}=-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4.a}$

$y_{v}=-\frac{((-8)^{2}-4.2.0)}{4.2}$

$y_{v}=-\frac{(64-0)}{8}$

$y_{v}=-\frac{64}{8}$

$y_{v}=-8$

Logo, as coordenadas do vértice são $x_{v}=2$  e  $y_{v}=-8$.

c) $x^{2} -36=0$

Temos uma equação do segundo grau incompleta. Como uma equação do segundo grau completa é do tipo $a.x^{2} +b.x+c=0$, teremos que:

$x^{2} -36=0\\x^{2} +0.x-36=0$

Dessa forma, teremos a = 1, b = 0 e c = -36.

Encontrando as raízes, resolvendo pela equação do segundo grau incompleta, temos:

$x^{2} -36=0$

$x^{2} =36$

$x= \±\sqrt{36}$

$x= \±6$

Dessa forma, as raízes reais dessa equação são x' = - 6 e x''= 6.

As coordenadas do vértice são $V(x_{v} ,y_{v} )$, onde:

$x_{v}=-\frac{b}{2a}$

$x_{v}=-\frac{(0)}{2.1}$

$x_{v}=\frac{0}{2}$

$x_{v}=0$

e

$y_{v}=-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4.a}$

$y_{v}=-\frac{((0)^{2}-4.1.(-36))}{4.1}$

$y_{v}=-\frac{(0+144)}{4}$

$y_{v}=-\frac{144}{4}$

$y_{v}=-36$

Logo, as coordenadas do vértice são $x_{v}=0$  e  $y_{v}=-36$.

d) $x^{2} -5.x+10=0$

Temos uma equação do segundo grau completa. Como uma equação do segundo grau completa é do tipo $a.x^{2} +b.x+c=0$, teremos que:

$x^{2} -5.x+10=0\\1.x^{2} -5.x+10=0$

Dessa forma, teremos a = 1, b = - 5 e c = 10.

Encontrando as raízes, resolvendo pela equação do segundo grau completa, utilizando a Fórmula de Báskhara, temos:

$x=\frac{=b\±\sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}$

$x=\frac{-(-5)\±\sqrt{(-5)^{2}-4.1.10}}{2.1}$

$x=\frac{5\±\sqrt{25-40}}{2}$

$x=\frac{5\±\sqrt{-15}}{2}$

Como no conjunto dos números reais não existe a raiz quadrada de um número negativo, então a equação  $x^{2} -5.x+10=0$ não possui raízes reais.

As coordenadas do vértice são $V(x_{v} ,y_{v} )$, onde:

$x_{v}=-\frac{b}{2a}$

$x_{v}=-\frac{(-5)}{2.1}$

$x_{v}=\frac{5}{2}$

e

$y_{v}=-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4.a}$

$y_{v}=-\frac{((-5)^{2}-4.1.(10))}{4.1}$

$y_{v}=-\frac{(25-40)}{4}$

$y_{v}=-\frac{(-15)}{4}$

$y_{v}=\frac{15}{4}$

Logo, as coordenadas do vértice são $x_{v}=\frac{5}{2}$  e  $y_{v}=\frac{15}{4}$.