Question

Me ajudem porfavor
Resolver a seguinte integral

$\int\limits e^2^xsenx\ dx$

Answer 1

Para resolver a integral que o exercício propõe usaremos uma técnica de integração chamada integração por partes, cuja definição é

$\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx = u(x)\cdot v(x) - \int v(x)\cdot u'(x)\, dx$

Onde u, v são funções diferenciáveis quaisquer. Nosso trabalho é decidir qual a atribuição que faremos à u e v a tornar nosso problema o mais fácil possível. Para calcularmos a integral a seguir

$\displaystyle\int e^{2x}\sin(x)\, dx$

Vamos utilizar a atribuição a seguir

$u(x) = e^{2x}\\ v'(x) = \sin(x)$

Deste modo, escrevemos

$\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx = \displaystyle\int e^{2x}\sin(x)\, dx$

Assim, obtendo v e u', podemos aplicar a integração por partes

$u'(x) = 2e^{2x}\\v(x) = -\cos(x)$

$\displaystyle\int e^{2x}\sin(x)\, dx = -e^{2x}\cos(x) - \int -2e^{2x}\cos(x)\, dx$

$\displaystyle\int e^{2x}\sin(x)\, dx = -e^{2x}\cos(x) + \int 2e^{2x}\cos(x)\, dx$

Aparentemente nos encontramos em outro problema, que é avaliar a integral

$\displaystyle\int 2e^{2x}\cos(x)\, dx$

Mas como anteriormente, podemos também utilizar partes para obter

$u(x) = 2e^{2x}\hspace{0.5cm} u'(x) = 4e^{2x}\\v(x) = \sin(x) \hspace{0.5cm} v'(x) = \cos(x)$

$\displaystyle\int 2e^{2x}\cos(x)\, dx = 2e^{2x}\sin(x) - \int 4e^{2x}\sin(x)\, dx$

Pode parecer que caímos em outra integral, no entanto trata-se apenas da integral que procuramos, mas, devido à linearidade da integral, está multiplicada por 4, assim podemos apenas substituir esta integral em nosso primeiro resultado obtemos

$\displaystyle\int e^{2x}\sin(x)\, dx = -e^{2x}\cos(x) + \left(2e^{2x}\sin(x) - \int 4e^{2x}\sin(x)\, dx+C\right)+C$

$\displaystyle\int e^{2x}\sin(x)\, dx = -e^{2x}\cos(x) + 2e^{2x}\sin(x) -4\int e^{2x}\sin(x)\, dx+C$

Este próximo passo é opcional, mas podemos substituir o termo da integral que queremos por $I$ a fim de manipularmos algebricamente a equação de forma mais 'fácil',

$I = -e^{2x}\cos(x) + 2e^{2x}\sin(x) -4I+C$

$5I =  -e^{2x}\cos(x) + 2e^{2x}\sin(x)+C$

$I = \dfrac{1}{5}e^{2x}\left(-\cos(x)+2\sin(x)\right)+C$

Finalizando o cálculo da integral definida.

$\displaystyle\int e^{2x}\sin(x)\, dx =\dfrac{1}{5}e^{2x}\left(-\cos(x)+2\sin(x)\right)+C$

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Answer 2

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⠀⠀☞ Integrando por partes esta integral cíclica temos que o resultado é ( e²ˣ / 5 ) × (2sen(x) - cos(x)) + C. ✅  

⠀  

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⠀⠀ Vamos inicialmente lembrar da regra de integral por partes:  

⠀

$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \displaystyle\int u \cdot dv = u \cdot v - \displaystyle\int v \cdot du}&\\&&\\\end{array}}}}}$

⠀

⠀⠀Seja portanto:

⠀  

$\LARGE\blue{\sf u = sen(x)}$

⠀  

$\LARGE\blue{\sf du = cos(x)}$

⠀  

$\LARGE\blue{\sf dv = e^{2x}}$

⠀

⠀ ⠀A integral de e²ˣ é o próprio e²ˣ dividido pela derivada da potência:

⠀  

$\LARGE\blue{\text{ \sf v = \dfrac{e^{2x}}{2} }}$

⠀

⠀⠀Então temos:

⠀  

$\blue{\text{ \sf \displaystyle\int sen(x) \cdot e^{2x} = sen(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{2} - \displaystyle\int \dfrac{e^{2x}}{2} \cdot cos(x) + C }}$

⠀

⠀⠀Vamos analisar nossa integral do lado direito também através da regra da integral por partes:

⠀  

$\LARGE\blue{\sf u = cos(x)}$

⠀  

$\LARGE\blue{\sf du = -sen(x)}$

⠀  

$\LARGE\blue{\text{ \sf dv = \dfrac{e^{2x}}{2} }}$

⠀  

$\LARGE\blue{\text{ \sf v = \dfrac{e^{2x}}{4} }}$

⠀

⠀⠀Então temos:

⠀  

$\blue{\text{ \sf \displaystyle\int \dfrac{e^{2x}}{2} \cdot cos(x) = cos(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{4} - \displaystyle\int \dfrac{e^{2x}}{4} \cdot (-sen(x)) + C }}$

⠀  

$\blue{\text{ \sf \displaystyle\int \dfrac{e^{2x}}{2} \cdot cos(x) = cos(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{4} + \dfrac{1}{4} \cdot \displaystyle\int e^{2x} \cdot sen(x) + C }}$

⠀

⠀ ⠀Retornando ela para nossa integral anterior temos:

⠀  

$\blue{\text{ \sf \displaystyle\int sen(x) \cdot e^{2x} = sen(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{2} - (cos(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{4} + \dfrac{1}{4} \cdot \displaystyle\int e^{2x} \cdot sen(x)) + C }}$

⠀  

$\blue{\text{ \sf \displaystyle\int sen(x) \cdot e^{2x} = sen(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{2} - cos(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{4} - \dfrac{1}{4} \cdot \displaystyle\int e^{2x} \cdot sen(x) + C }}$

⠀

⠀ ⠀ Ora, ora, ora, mas o que temos aqui? Nossa integral da direita, como sabemos, é nossa integral inicial, ou seja, esta é uma integral cíclica. podemos por uma manipulação algébrica somá-la em ambos os lados da igualdade:

⠀  

$\blue{\text{ \sf \displaystyle\int sen(x) \cdot e^{2x} + \dfrac{1}{4} \cdot \displaystyle\int e^{2x} \cdot sen(x) = sen(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{2} - cos(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{4} + C }}$

⠀  

$\blue{\text{ \sf \dfrac{5}{4} \cdot \displaystyle\int e^{2x} \cdot sen(x) = sen(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{2} - cos(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{4} + C }}$

⠀  

$\blue{\text{ \sf \displaystyle\int e^{2x} \cdot sen(x) = \dfrac{4}{5} \cdot (sen(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{2} - cos(x) \cdot \dfrac{e^{2x}}{4}) + C }}$

⠀

⠀ Rearranjando nossa equação e colocando alguns termos em evidência temos:

⠀  

$\large\blue{\text{ \sf \displaystyle\int e^{2x} \cdot sen(x) = \dfrac{e^{2x}}{5} \cdot (2sen(x) - cos(x) + C }}$

⠀  

⠀

$\green{\boxed{\rm~~~\gray{\displaystyle\int sen(x) \cdot e^{2x}}~\pink{=}~\blue{\dfrac{e^{2x}}{5} \cdot (2sen(x) - cos(x) + C}~~~}}$ ✅  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

⠀⠀☀️ Outro exercício de Integral:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38202708

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁  

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$  

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍  

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀  

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$