Me ajudem, por gentileza!!! As circunferências de equação x²+y²-10x+2y+16=0 e x²+y²-8x+4y+16=0 interceptam -se nos pontos A e B. Determine a distância do centro da circunferência de raio maior à reta AB. gabarito 2√2
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Oi Ana, bom dia.
Primeiro a gente tem que organizar essas equações de circunferência, pq do jeito que estão tá uma bagunça, não dá pra entender nada e para isso vamos ter que completar quadrados, lembra?
Por exemplo, vamos pegar a primeira equação
x² + y² - 10x + 2y + 16 = 0 (1)
Vamos deixar parecido com algo assim
(x + a)² + (y + b)² = c
E pra isso vamos ter que completar quadrado, vamos reorganizar a equação (1) dessa forma
x² - 10x + y² + 2y + 16 = 0
Vamos completar o x primeiro
Nos temos x² - 10x e queremos deixar assim
x² - 10x = (x + a)² = x² + 2ax + a²
Observando a igualdade tiramos que
2a = -10
a = -5
Então temos que somar na equação (1) + 5² em ambos os lados, 5² = 25 mas na equação nos temos o número 16 sobrando então só precisamos somar +9 dos dois lados
x² - 10x + 25 + y² + 2y = 9
(x - 5)² + y² + 2y = 9
Agora vamos completar o y
y² + 2y = (y + b)² = y² + 2by + b²
2 = 2b
b = 1
Temos que somar 1 dos dois lados da equação 1
x² - 10x + 25 + y² + 2y + 1 = 10
(x - 5)² + (y + 1)² = 10
Agora ficou mas legalzim, da até pra dizer onde fica o centro dela e o raio, essa circunferência tem centro no ponto (5, -1) e raio √10
Agora vamos completar a equação da outra circunferência
x² + y²- 8x + 4y + 16 = 0 (2)
Vou mais rápido agora
x² - 8x = x² + 2ax + a²
y² + 4y = y² + 2by + b²
2a = -8
a = -4
2b = 4
b = 2
Vamos ter que somar +16 e +4 de ambos os lados da equação (2) mas nos já temos o 16 então só precisa somar +4
x² - 8x + 16 + y² + 4y + 4 = 4
(x - 4)² + (y + 2)² = 4
Centro em (4, -2) e raio 2
Agora começa a brincadeira de criança, encontrar a intersecção delas.
x² - 10x + y² + 2y = -16 (1)
x² - 8x + y² + 4y = -16 (2)
Como as duas equações são iguais a -16, podemos igua-lar
x² - 10x + y² + 2y = x² - 8x + y² + 4y
-10x + 2y = -8x + 4y
-2x = 2y
y = -x
Substituindo esse valor de y na equação (1) ou na (2) vamos determinar o valor de x.
Substituindo na equação (1)
x² - 10x + x² - 2x = - 16
2x² - 12x + 16 = 0 ÷2
x² - 6x + 8 = 0
Aqui é equação quadratica, a solução é
x = 2 e x = 4
Para x = 2 => y = -2
Para x = 4 => y = -4
Então os pontos de intersecção das circunferências são (2, -2) e (4, -4).
Agora vamos determinar a reta que passa por esses dois pontos, primeiramente vamos determinar o coeficiente angular da reta a
a = (- 4 + 2)/(4 - 2) = -1
Agora que temos o coeficiente ângular, basta escolhermos qualquer um dois pontos de intersecção e jogar tudo na equação geral da reta
y - y' = a(x - x')
Vamos escolher o ponto (2, -2)
y + 2 = -(x - 2)
y = - x + 2 - 2
y = - x (equação da reta que passa por AB)
Agora vamos determinar a distância do centro da circunferência de maior raio até a reta.
Vou precisar que você queime alguns neurônios pra acompanhar o que eu vou escrever aqui, pq não tenho como mandar uma foto em anexo pra simplificar
Se você ligar os três pontos que são o centro da circunferência de maior raio e os dois pontos de intersecção que calculamos formamos um triângulo isosceles, ou seja, tem dois lados de mesma medida que correspondem ao raio da circunferência que mede √10 e a base desse triângulo vai ser a distância D entre os dois pontos de intersecção que é
D = √[(2 - 4)² + (-2 + 4)²] = √(4 + 4) = √8 = 2√2
Temos as medidas de todos os lados do triângulo, a distância que queremos entre a circunferência e a reta é a menor possível, logo vai ser determinada pelo segmento que parte do centro da circunferência e que seja perpendicular à reta AB, ou seja, a altura h do triângulo que pode ser determinar usando Pitágoras
(√10)² = (√2)² + h²
h = √(10 - 2) = √8 = √2³ = 2√2
Pronto, ficou uma bagaceira essa resolução, se você não entender alguma coisa ou tudo me manda msg que eu tento da um jeito de te ajudar. Bom domingo.