Question

Me ajudem por favorrrr!! Questão sobre relações métricas na circunferência

Answer 1

O caso, neste exercício é semelhante ao da figura em anexo. Apenas considere que no seu caso, a reta secante (que toca a circunferência em dois pontos) passa pelo centro do círculo.

Basicamente, a medida da reta tangente ao quadrado é igual ao produto entre a medida da secante e o trecho da secante exterior ao círculo.

Neste caso, a secante mede:

$\overline{PB} = \overline{PA}+\overline{AB}$

Mas como o segmento $\overline{AB}$ passa pelo centro da circunferência e toca do outro lado, podemos considerar que sua medida é igual ao dobro do raio. Isto é:

$\overline{AB} = 2 \cdot r = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}$

O segmento $\overline{PA}$ é a nossa incógnita, x. Logo:

$\overline{PB} = x+10$

Agora, como na figura em anexo, usaremos a seguinte relação:

$\overline{PC}^2 = \overline{PB} \cdot \overline{PA}$

A tangente ($\overline{PC}$) mede 15 cm. Assim:

$15^2 = (x+10) \cdot x$

$225 = x^2+10 \cdot x$

$x^2 + 10 \cdot x - 225 = 0$

Caímos em uma equação do segundo grau, para resolvê-la pode-se utilizar da equação de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Substituindo: a = 1, b = 10 e c = -225, obtemos:

$x = \dfrac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225)}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{-10 \pm \sqrt{100 +900}}{2}$

$x = \dfrac{-10 \pm \sqrt{1000}}{2}$

$x = \dfrac{-10 \pm \sqrt{10 \cdot 100}}{2}$

$x = \dfrac{-10 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{100}}{2}$

$x = \dfrac{-10 \pm \sqrt{10} \cdot 10}{2}$

$x = -5 \pm 5 \cdot \sqrt{10}$

Como estamos falando em medida, apenas o valor positivo de x nos interessa. Logo:

$\boxed{x = -5 + 5 \cdot \sqrt{10}}$