Question

me ajudem por favorrrr


o resto da divisão P(x) =3x^3 - 3nx^2 +17 por Q(x) = x-3 é igual a 17. O valor de n é:​
​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{n=3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre a divisão de polinômios.

Seja a divisão de um polinômio $P(x)$ por outro polinômio da forma $x-a$.

Podemos reescrever esta divisão como:

$P(x)=Q(x)\cdot(x-a)+R(x)$, tal que neste caso, $Q(x)$ é o quociente da divisão e $R(x)$ é o resto.

Veja que quando fazemos $x=a$, teremos:

$P(a)=Q(a)\cdot(a-a)+R(a)$

Some e multiplique os valores

$P(a)=Q(a)\cdot0+R(a)\\\\\\ P(a)=R(a)$.

Então, observa-se que o valor numérico do polinômio em $a$ é igual ao resto da divisão em $a$.

Voltemos para a questão:

Temos a divisão do polinômio $P(x)=3x^3-3nx^2+17$ por $Q(x)=x-3$, tal que o resto desta divisão é igual a $17$.

Utilizando a propriedade discutida acima, substituímos $x=3$

$P(3)=17\\\\\\ 3\cdot 3^3-3n\cdot 3^2+17=17$

Calcule as potencias e multiplique os valores

$81-27n+17=17$

Subtraia $17$ em ambos os lados da equação

$81-27n=0$

Isole $n$

$27n=81$

Divida ambos os lados da equação por $27$

$n=3$

Este é o valor de $n$ que satisfaz esta condição.