Question

Me ajudem por favor Urgente !!!

Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função $y=f(x)= x^{2}$ no ponto de abcissaX0= 2; e esboce o gráfico.

Answer 1

Luana,

Primeiramente, calculemos a derivada da função f(x) a qual sabemos que é o COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A FUNÇÃO F(X).

$y=f(x)=x^2$ pela regra de derivação de $f(x)=x^n$ sendo n inteiro positivo, obteremos a derivada $f'(x)=n.x^{n-1}$

aplicando na equação dada:

$\\f'(x)=2x^{2-1}=2x^1=2x$

Com a derivada (coef. ang. da reta tangente a função) em mãos, para encontrarmos a função da reta no ponto Xo=2 como foi dado, basta-nos aplicarmos na equação fundamental da reta.

$m_{t} = \frac{y- y_{0}}{x- x_{0}}$ Considerando m (coef. ang. da reta como a derivada da função): $m_{t}=f'(x)$

Só que, como estamos tratando do coeficiente ang. (derivada) em forma de função [$f'(x)=2x$] precisamos de um ponto fixo para elaborarmos a nossa equação e consequentemente o nosso gráfico. E esse ponto o qual estamos falando é justamente o qual a questão dá: Xo=2

Para Xo=2:

$f'( x_{o})=2 x_{o}\\f'(2)=2.2=4$

Compreenda também que para Xo=2 , obteremos Yo=4 pois $f(2)=2^2=4$


Colocando todas estas informações em nossa equação:

$m_{t} = \frac{y- y_{0}}{x- x_{0}}\\\\4= \frac{y-4}{x-2}$ desenvolvendo...

$y-4x+4=0$ Equação da reta tangente ao gráfico f(x) no ponto (2,4)

Agora, para encontrarmos a reta normal, devemos encontrar primeiramente o coeficiente angular desta com a seguinte relação:

$m_{t} . m_{n} =-1$ pois a reta normal ao gráfico naquele ponto deve ser ortogonal a reta tangente do gráfico naquele ponto. Assim:

$m_{t} . m_{n} =-1\\4.m_{n}=-1\\m_{n}=- \frac{1}{4}$
Com o coeficiente angular da reta normal em mãos, basta-nos utilizar novamente da equação fundamental da reta normal para a coordenada (2,4). Assim:
$m_{n} = \frac{y- y_{0}}{x- x_{0}}\\- \frac{1}{4} =\frac{y- 4}{x-2}\\\\x+4y-18=0$ Equação da reta normal ao gráfico no ponto (2,4)


O gráfico segue anexado à resposta!

LEGENDA DO GRÁFICO:

f(x)=x^2 em verde.

(RETA g) Reta tangente em vermelho.

(RETA h) Reta normal em azul.

Espero ter ajudado,

See Ya!