Question

ME AJUDEM POR FAVOR!!! URGENTE!​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Em coordenadas cilindricas,

$\begin{cases}r^2 = x^2 + y^2\\ tg(\theta) = \frac{y}{x} \\z = z \end{cases}$

Escrevendo x e y em funcao de r e θ:

$\begin{cases}x = rcos(\theta) \Rightarrow dx = cos(\theta)dr - r.sen(\theta)d\theta \\y = rsen(\theta) \Rightarrow dy = sen(\theta)dr + r.cos(\theta)d\theta\end{cases}$

Calculando o Jacobiano

$\left|\begin{matrix}\frac{dx}{dr} & \frac{dx}{d\theta} & \frac{dx}{dz} \\\frac{dy}{dr} & \frac{dy}{d\theta} & \frac{dy}{dz} \\\frac{dz}{dr} & \frac{dz}{d\theta} & \frac{dz}{dz} \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}cos\theta & -r.sen\theta & 0 \\sen\theta & r.cos\theta & 0 \\0 & 0 & 1\end{matrix}\right| =\\=(cos\theta \times rcos\theta \ times 1) - (-rsen\theta \times sen\theta \times 1 ) = r (sen^2\theta + cos^2\theta) = r$

Assim, podemos trocar os diferencias:

$dxdydz = r \text{ } drd\theta dz$

Agora temos que reescrever a regiao delimitada em funcao das novas variaveis cilindricas:

$3x^2 + 3y^2 > z > 4x^2 + 4y^2 - 9\\\therefore3r^2 > z > 4r^2 - 9$

$-\sqrt{9-y^2} < x < \sqrt{9-y^2}\\\therefore |x| < \sqrt{9-y^2}\\\therefore x^2 < 9-y^2\\\therefore x^2 + y^2 < 3^3\\\therefore r^2 < 3^3\\\therefore r < 3$

Como r  positivo, $0<r<3$.

Nao ha restricao para θ, logo $-\pi < \theta < \pi$.

Para visualizar melhor, seria interessante analisar as superficies

$z = 3r^2 = 3(x^2 + y^2)$

e

$z = 4r^2 - 9 = 4(x^2 + y^2) - 9$

(tentei anexa-las)

Mas ja podemos reescrever a integral tripla

$\int^{2\pi}_0 \int^{3}_{0} \int_{4r^2-9}^{3r^2} r dzdrd\theta$

Note que a ordem de r e θ eh irrelevante, porem z deve ser a primeira diferencial

$\int^{\pi}_{-\pi} \int^{3}_{0} \int_{4r^2-9}^{3r^2} r dzdrd\theta = \int^{\pi}_{-\pi} d\theta \times \int^{3}_{0} r \int_{4r^2-9}^{3r^2} dzdr = \\ \left[ \theta \right]^{\pi}_{-\pi} \times \int^{3}_{0} r \left[ z \right]_{4r^2-9}^{3r^2} dr = 2\pi \int^{3}_{0} r [(3r^2) - (4r^2-9)] dr =\\ 2\pi \int^{3}_{0} (9r - r^3) dr = 2\pi \left[ \frac{9}{2}r^2 - \frac{1}{4}r^4 \right]^{3}_{0} = 2\pi \left[\left( \frac{9}{2}3^2 - \frac{1}{4}3^4 \left) - \left( \frac{9}{2}0^2 - \frac{1}{4}0^4 \left) \right] =$

$= 2\pi \left( \frac{81}{2} - \frac{81}{4}\left) = 2\pi\dfrac{81}{4} =\dfrac{81\pi}{2}$