Question

Me ajudem por favor. Preciso urgente!
O diâmetro do fundo (d) de um balde em forma de tronco de cone é a metade do diâmetro da borda (D) e 2/3 da altura (h), sendo D, d e h medidas internas do balde. Sabendo-se que para encher o balde até a borda precisa-se de 3 jarras de 1,5 litros mais um copo de 250 ml de água, calcule as medidas D, d e h em cm. Dados: , sendo pi= 3,1416.

Answer 1

As medidas são:

D = 24 cm

d = 12 cm

h = 18 cm

É um problema de geometria espacial, mais precisamente de volume de tronco de cone.

O volume de tronco de cone $V_{TC}$ pode ser obtido por:

$V_{TC} = \frac{\pi h}{12}(D^{2} +Dd+d^{2})$ (I)

Onde:

• D = diâmetro maior (nesse problema o do fundo)
• d = diâmetro menor (nesse problema o da borda)
• h = altura do tronco de cone

(As medidas estão marcadas na figura)

Do enunciado, sabe-se que é possível encher o balde com 3 jarras de 1,5 L (1500mL) mais um copo de 250 mL, logo pode-se determinar o volume do balde.

$V_{TC} = 3.1500+250=4750mL$

Lembremos da conversão de medidas de volume:

$1cm^{3} = 1mL$

Logo: $V_{TC}=4750 cm^{3}$ (II)

Do enunciado do problema, sabemos que:

$d = \frac{D}{2}$ e $d = \frac{2h}{3}$

Manipulando as duas últimas equações obtemos:

$d = \frac{2h}{3}$ (III)

$D = \frac{4h}{3}$ (IV)

Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), temos:

$4750 = \frac{\pi h}{12} [(\frac{4h}{3} )^{2}+(2\frac{2h}{3})(\frac{2h}{3}) +(\frac{2h}{3} )^{2}]$

$4750 = \frac{\pi h}{12}(\frac{16h^{2} }{9} +\frac{8h^{2} }{9} +\frac{4h^{2} }{9} )$

$4750 = \frac{\pi h}{12}\frac{28h^{2} }{9}$

$4750 = \frac{7\pi h^{3} }{27}$

Isolando $h$, encontramos a altura do tronco:

$h = \sqrt[3]{\frac{4750.27}{7\pi } }$ ≅ $17,999 cm$ ≅ $18 cm$

Substituindo $h$ em (III) e (IV), obtemos:

$d = \frac{2.18}{3} =12 cm\\D = \frac{4.18}{3}=24 cm$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.