Question

Me ajudem por favor preciso responder essas questões de uma prova!!!

1-Um sorvete do tipo “cornetto”, onde a maior parte da massa de sorvete encontra-se dentro da casquinha de waffer recoberto com chocolate em formato de cone tem medidas: altura 12 cm e 2,6cm de raio da base. Com base nestas informações, determine: a) A quantidade mínima de material de embalagem que deverá ser utilizado para recobrir completamente o sorvete; b) O volume de sorvete que a embalagem comporta, sabendo que o conjunto casquinha+chocolate tem volume de 6cm³.

2-Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um tronco de cone circular como mostra a figura a seguir. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base menor do tronco de cone e igual a r = 3m. Se a altura do total do reservatório é h = 12m e sua capacidade é de 706,5m³ de volume total, calcule o raio da parte superior do reservatório. (Obs.: Use sempre arredondamento de 2 casas decimais na resolução)
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3-Uma empresa de refrigerantes deseja criar novas latas com maior volume interno. Assim foram propostos três modelos de latas: O primeiro, um cilindro de 3,3cm de raio da base e 14cm de altura, onde serão colocados 420ml de refrigerante; o segundo, um cilindro de 3,6cm de raio da base e 12cm de altura, onde serão colocados 440ml de refrigerante; o terceiro é um tronco de cone com formato de 'copo', com raios das bases r=3,2cm e R=3,6cm e com 13cm de altura, onde serão colocados 430ml de refrigerante. Com base nestas informações, e considerando 1ml = 1cm³, responda: a) Se as latas são compostas completamente de alumínio, em qual das duas latas haverá menor gasto de material? (Apresente cálculos) b) Em qual das latas haverá menor volume de ar sobrando no interior da lata? De quanto será a sobra? c) Considerando o custo do alumínio de R$ 0,0005 por cm², e que o lucro relativo do líquido é de R$ 0,004 por ml, qual das latas renderá maior lucro para a empresa?

4-Dois reservatórios com mesma altura e com mesmo raio da base, um cilíndrico e outro cônico estão completamente vazios e serão preenchidos por torneiras com vazões diferentes. A primeira torneira completa o preenchimento do reservatório cilíndrico em 4h10min. O segundo, que tem vazão igual a ⅔ da primeira torneira, demorará quanto tempo para preencher completamente o reservatório cônico?
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5-Uma 'bola' de sorvete com formato de hemisfério (meia esfera) está em uma casquinha no formato de tronco de cone (interno) com raios das bases r=1,8cm e R=2,8cm e com altura 7,5cm. Sabendo que a 'bola', se completamente derretida, ocupa todo o interior da casquinha, sem derramar, determine o raio da 'bola' de sorvete:
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Answer 1

Aplicaremos os conceitos de Geometria Espacial para responder cada uma das questões, individualmente.

1 - a) Aplicando Pitágoras encontraremos a geratriz do cone:

g² = r² + h² = 2,6² + 12² = 6,76 + 144 = 150,74

g = 12,28cm

A área lateral do cone de waffer é:

AL = πrg = 3,1415*2,6*12,28 = 100,3cm²

Já a área da base (topo do sorvete) do cone vale:

Ab = πr² = 3,1415*2,6² = 21,24cm²

Logo, a quantidade de material a ser utilizada para cobrir todo o sorvete será:

A = AL + Ab = 100,3 + 21,24 = 121,54cm²

Contudo, se for coberta apenas a lateral do cone do sorvete teremos:

A = AL = 100,3cm²

b) O volume do cone será:

Vc = Ab*h/3 = 100,3*12/3 = 401,2cm³

O volume total do sorvete será:

V = Vc + 6cm³ (do conjunto casquinha + chocolate) = 401,2 + 6 = 407,2cm³

2 - Vamos considerar que a base maior do tronco de cone está para cima, e a base menor para baixo, em contato com a superfície plana do hemisfério.

Importante notar que a altura do hemisfério corresponde ao seu raio r, mesmo raio da base menor do tronco. O volume ocupado por ele será:

Vh = 2πr³/3 = 2*3,1415*(3)³/3 = 56,55m³

Já para o tronco de cone vamos ter o volume, sendo R o raio da base maior:

Vc = πh(R² + Rr + r²)/3 = 3,1415h(R² + 3R + 9)/3 = 1,05h(R² + 3R + 9)

Se o volume total vale 706,5m³, então:

Vc + Vh = 706,5m³

56,55 + 1,05h(R² + 3R + 9) = 706,5

1,05h(R² + 3R + 9) = 649,95

A altura total do conjunto é 12m, ou seja:

h (do tronco do cone) + r (do hemisfério) = 12m

h + 3 = 12

h = 12 - 3 = 9m

Substituindo na relação anterior:

1,05*9(R² + 3R + 9) = 649,95

R² + 3R + 9 = 68,89

R² + 3R - 59,89 = 0

Aplicando Bháskara:

Δ = 3² - 4*1*(-58,89) = 9 + 239,56 = 248,56

R = (-3±√248,56)/2 = (-3±15,77)/2

Tomando apenas o valor positivo:

R = (-3 + 15,77)/2 = 6,39m

3 - a) Vamos calcular as áreas totais de cada latinha:

A1 = Área total do cilindro = 2πrh + 2πr² = 2*3,1415*3,3*14 + 2*3,1415*3,3²

A1 = 290,28 + 68,42 = 358,7cm²

A2 = Área total do cilindro = 2πrh + 2πr² = 2*3,1415*3,6*12 + 2*3,1415*3,6²

A2 = 271,43 + 81,43 = 352,86cm²

A3 = Área total do tronco de cone = πg(R + r) + π(R² + r²)

A3 = π*[√((R - r)² + h²)](R + r) + π(R² + r²)

A3 = 3,1415*[√((3,6 - 3,2)² + 13²}*(3,6 + 3,2) + 3,1415*(3,6² + 3,2²)

A3 = 3,1415*(√(0,16 + 169))*6,8 + 3,1415*(12,96 + 10,24) = 277,84 + 72,88 = 350,72cm²

Logo, o modelo 1 foi o que mais gastou material, pois possui maior área total.

b) Vamos calcular o volume, em mL, de cada latinhas:

V1 = Volume do cilindro = πr²h = 3,1415*3,3²*14 = 478,95cm³ = 478,95mL

V2 = Volume do cilindro = πr²h = 3,1415*3,6²*12 = 488,57cm³ = 488,57mL

V3 = Volume do tronco de cone = πh(R² + Rr + r²)/3

V3 = 3,1415*13(3,6² + 3,6*3,2 + 3,2²)/3 = 40,84(12,96 + 11,52 + 10,24)/3

V3 = 472,66cm³ = 472,66mL

O volume de ar em cada um dos modelos será:

Var1 = V1 - Volume de refrigerante = 478,95mL - 420mL = 58,95mL

Var2 = V2 - Volume de refrigerante = 488,57mL - 440mL = 48,57mL

Var3 = V3 - Volume de refrigerante = 472,66mL - 430mL = 42,66mL

Logo, no modelo 3 haverá menor volume de ar dentro da garrafa.

c) O lucro será dado por:

L = 0,004*(Volume de refrigerante) - 0,0005*(Área total)

Para cada modelo teremos:

L1 = 0,004*420 - 0,0005*358,7 = 1,68 - 0,18 = 1,5

L2 = 0,004*440 - 0,0005*352,86 = 1,76 - 0,18 = 1,58

L3 = 0,004*430 - 0,0005*350,72 = 1,72 - 0,18 = 1,54

Portanto, o maior lucro será no modelo 2.

4 - A vazão no primeiro reservatório é:

V1 = (Volume do cilindro)/Tempo = Vc/4h10min = Vc/250min

Já a vazão no segundo reservatório será:

V2 = (Volume do cone)/Tempo

Sabendo que V2 = 2V1/3 e que Volume do cone = (Volume do cilindro)/3, vamos ter:

V2 = 2V1/3

(Volume do cone)/Tempo = 2*(Vc/250min)/3

(Vc/3)/Tempo = 2Vc/750min

3*Tempo = 750min/2 = 375min

Tempo = 375/3 = 125min = 2h5min

5 - Se a bola derretida ocupa todo o tronco do cone é válida a relação:

(Volume hemisfério) = Volume do tronco de cone

2πR³/3 = πh(R² + Rr + r²)/3

2R³ = h(R² + Rr + r²) = 7,5*(2,8² + 2,8*1,8 + 1,8²) = 7,5*(7,84 + 5,04 + 3,24)

2R³ =  120,9

R³ = 120,9/2 = 60,45

R = 3,92cm

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