Question

Me ajudem por favor nessa questão????

Answer 1

Primeiramente encontramos os pontos de intersecção entre a reta e a circunferência. Para isso, precisamos expandir a equação da circunferência:

$\lambda: (x-3)^2 + (y+3)^2 = 18$

$\lambda: x^2 - 6 \cdot x + 9 + y^2 + 6 \cdot y + 9 = 18$

$\lambda: x^2 - 6 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y = 18-18$

$\lambda: x^2 - 6 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y = 0$

Agora, podemos isolar x na equação da reta r:

$r: 2 \cdot x + 4 \cdot y = 12$

$2 \cdot x = 12 - 4 \cdot y$

$x = \dfrac{12 - 4 \cdot y}{2}$

$x = 6 - 2 \cdot y$

Agora nós vamos substituir x na equação da circunferência por 6 - 2y:

$x^2 - 6 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y = 0$

$(6 - 2 \cdot y)^2 - 6 \cdot ( 6 - 2 \cdot y) + y^2 + 6 \cdot y = 0$

Expandindo:

$4 \cdot y^2 - 24 \cdot y + 36 - 36 + 12 \cdot y+ y^2 + 6 \cdot y = 0$

Agrupando os termos semelhantes:

$5 \cdot y^2 - 6 \cdot y = 0$

Como não temos termos independentes, isso significa que uma das raízes só pode ser 0, para achar a outra, podemos tirar um y em evidência:

$y \cdot (5 \cdot y - 6) = 0$

Passamos esse y dividindo para o outro lado:

$5 \cdot y - 6 = \dfrac{0}{y}$

$5 \cdot y - 6 = 0$

Agora resolvemos para y:

$5 \cdot y= 6$

$y = \dfrac{6}{5}$

Ou seja, as coordenadas y dos pontos de intersecção são $y = 0$ e $y = \dfrac{6}{5}$

Para encontrar as coordenadas x, basta substituir esses valores de y na equação da reta r. Quando y = 0:

$2 \cdot x_1 + 4 \cdot 0 = 12$

$2 \cdot x_1 + 0 = 12$

$2 \cdot x_1 = 12$

$x_1 = \dfrac{12}{2}$

$x_1 = 6$

E quando $y = \dfrac{6}{5}$:

$2 \cdot x_2 + 4 \cdot \dfrac{6}{5} = 12$

$2 \cdot x_2 + \dfrac{24}{5} = 12$

$2 \cdot x_2 = 12 - \dfrac{24}{5}$

12 é o mesmo que 60/5:

$2 \cdot x_2 = \dfrac{60}{5} - \dfrac{24}{5}$

$2 \cdot x_2 = \dfrac{36}{5}$

Passando o 2 dividindo para o outro lado:

$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{36}{5}$

$x_2 = \dfrac{36}{10}$

Dividindo numerador e denominador por 2:

$x_2 = \dfrac{18}{5}$

Então as coordenadas dos pontos de intersecção entre reta e circunferência são:

$\boxed{P_1 = (6,0) \text{ e } P_2 = \left( \dfrac{18}{5}, \dfrac{6}{5}\right)}$

Calma que o exercício não acabou ainda.

De acordo com a equação da circunferência, o centro de $\lambda$ é: $C = (3, -3)$.

Dados os pontos $P_1$, $P_2$ e $C$, precisamos fechar um triângulo, para isso, precisamos calcular o comprimento dos três lados. Esse comprimento é dado pela distância entre os pontos:

$f = \overline{P_2C} = \sqrt{\left(\dfrac{18}{5}-3 \right)^2+\left(\dfrac{6}{5}-(-3) \right)^2}$

Sendo 3 = 15/5:

$f = \sqrt{\left(\dfrac{18}{5}-\dfrac{15}{5} \right)^2+\left(\dfrac{6}{5}+\dfrac{15}{5} \right)^2}$

$f = \sqrt{\dfrac{9}{25}+\dfrac{441}{25}}$

$f = \sqrt{\dfrac{450}{25}}$

$f = \sqrt{18}$

$f = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{2 \cdot 3^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2}$

$\boxed{f = 3 \cdot \sqrt{2}}$

$g = \overline{P_1C} = \sqrt{\left(6-3 \right)^2+\left(0-(-3) \right)^2}$

$g = \sqrt{\left(3\right)^2+\left(3 \right)^2}$

$g = \sqrt{9+9}$

$g = \sqrt{18}$

$g = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{2 \cdot 3^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2}$

$\boxed{g = 3 \cdot \sqrt{2}}$

E:

$h = \overline{P_1P_2} = \sqrt{\left(6-\dfrac{18}{5} \right)^2+\left(0-\dfrac{6}{5} \right)^2}$

Dado que 6 = 30/5:

$h = \sqrt{\left(\dfrac{30}{5} - \dfrac{18}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{6}{5} \right)^2}$

$h = \sqrt{\left(\dfrac{12}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{6}{5} \right)^2}$

$h = \sqrt{\dfrac{144}{25}+\dfrac{36}{25}}$

$h = \sqrt{\dfrac{180}{25}} = \dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt{25}}$

$h = \dfrac{\sqrt{36 \cdot 5}}{5} = \dfrac{\sqrt{6^2} \cdot \sqrt{5}}{5}$

$\boxed{h =\dfrac{6 \cdot \sqrt{5}}{5}}$

Atenção, o resto da resolução está nas figuras em anexo. A resposta ficou muito longa, não deu para postar tudo junto!