Question

Me ajudem por favor: integral de raiz quadrada de (x 2 -16)/x dx

Answer 1

O cálculo da integral indefinida tem como resultado:

$\boxed{\boxed{\boxed{\int\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}\,dx=\sqrt{x^2-16} - 4.arccos\left({\frac{4}{x}}\right) + C}}}$

De início, nos foi fornecida uma integral racional com raiz no numerador:

$\boxed{\int\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}\,dx}$

Perceba, no entanto, que esse é um dos casos possíveis de serem feitos por substituição trigonométrica. Com efeito, podemos resolver conferindo a tabela de substituição, verificamos que utilizaremos o caso:

$\sqrt{x^2-a^2}$

Onde:

 

x = a.sec(θ),  com θ ∈ [0,pi/2).    [Nesse caso a = 4, pois 4² = 16]

Obtém-se:

$---------------------------\\x = 4.sec(\theta) \Rightarrow \frac{dx}{d\theta} = 4.sec(\theta).tg(\theta) \Rightarrow \boxed{dx = 4.sec(\theta).tg(\theta)\,d\theta}\\---------------------------\\\\\int\frac{\sqrt{(4.sec(\theta))^2-16}}{4.sec(\theta)}\,dx=\\\\\int\frac{\sqrt{16.sec^2(\theta)-16}}{4.sec(\theta)}\,dx = \\\\\int\frac{4.\sqrt{sec^2(\theta)-1}}{4.sec(\theta)}\,dx \Rightarrow[tg^2x=sec^2x-1] \\\\\int\frac{\sqrt{tg^2(\theta)}}{sec(\theta)}\,dx \Rightarrow \textsf{Substituindo dx}\\\\\int\frac{|tg(\theta)|}{sec(\theta)}\,4.sec(\theta).tg(\theta)\,d\theta$

Logo:  

$4.\int\frac{|tg(\theta)|}{sec(\theta)}\,.sec(\theta).tg(\theta)\,d\theta =\\\\4.\int|tg(\theta)|}.tg(\theta)\,d\theta \textsf{[Tangente positiva no intervalo de 0 a pi/2]}$

Assim,

$\int tg^2(\theta)}.\,d\theta =\\\\ \int(sec^2(\theta)-1)\,d\theta =\\\\ \int sec^2(\theta)\,d\theta - \int 1 \,d\theta = \\\\\boxed{\boxed{tg(\theta) - \theta + c}}$

Entretanto, devemos retornar à variável "x". Para isso, primeiro saibamos que:

x = 4.sec(θ), logo: sec(θ) = x/4 =>

Por um triângulo retângulo, observe que:

sec(θ) =

1/cos(θ) =

1/(Cateto Adjacente / Hipotenusa) =

H / CA

Donde, H / CA = x / 4 => H = x e CA = 4

Devemos descobrir o Cateto Oposto (CO). Para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras, onde temos:

CO² + CA² = H²

CO² + 4² = x²

CO² = x² - 16

CO = √(x²-16)  

Dessa maneira, como sabemos que tangente é: CO/CA =>

tg(θ) = √(x²-16) / 4

Também descobrimos o valor de θ:

sec(θ) = x/4 => θ = arcsec(x/4)       ou

1 / cos(θ) = x/4 => cos(θ) = 4/x => θ = arccos(4/x)

Finalmente, a questão é resolvida substituindo os valores encontrados respectivamente, em tg(θ) e θ, na expressão:

tg(θ) - θ + C