Question

✨ME AJUDEM, por favor!!! Encontre m e n para que o polinômio P(x)=x³-2x²+mx-2n seja divisível por x-3 e por x-1

Answer 1

• Para fazer essa questão vamos usar o Teorema de D'Alembert.

O Teorema de D'Alembert diz que:

• P(x) é divisível por x - a, se "a" é raiz de P(x).

Ser raiz de uma expressão quer dizer que ao substituir o valor no local da incógnita, o resultado será igual a "0". Seguindo essa lógica, podemos substituir os valores de (x - 3) e (x - 1) no polinômio P(x), o valor que eu digo é o "a".

• Para (x - 3):

$\sf (x - a) \therefore (x - \underbrace{3}_{a}) \Rightarrow \underline{a = 3} \\ \\ \sf P(x) = {x}^{3} - 2x {}^{2} + mx - 2n \\ \sf P(a) = a {}^{3} - 2a {}^{2} + ma - 2a \\ \sf \underbrace{P(3)}_{raiz = 0}= 3 {}^{3} - 2.3 {}^{2} + m.3- 2n \\ \sf 0 = 27 - 18 + 3m - 2n \\ \sf 0 = 9 + 3m- 2n \\ \boxed{\sf 3m - 2n = - 9}$

• Para (x - 1):

$\sf (x - a) \therefore (x - \underbrace{1} _{a} ) \Rightarrow \underline{a = 1}</p><p> \\ \\ \sf P(x) = x {}^{3} - 2 {x}^{2} + mx - 2n \\ \sf P(a) = a {}^{3} - 2a {}^{2} + ma - 2n \\ \sf \underbrace{P(1)}_{raiz = 0}= 1 {}^{3} - 2.(1) {}^{2} + m.1 - 2n \\ \sf 0 = 1 - 2 + m - 2n \\ \sf 0 = - 1 + m - 2n \\ \boxed{\sf m - 2n = 1}$

Agora é só montar um sistema e resolver através do método que você preferir.

$\sf \begin{cases} \sf 3m - 2n = - 9.( - 1) \\ \sf m - 2n = 1 \end{cases} \\ \\ \sf - 3m + 2n = 9 \\ \sf m - 2n = 1 \\ \\ \sf - 3m + \cancel 2n + m - \cancel2n = 9 + 1 \\ \sf - 2m = 10 \\ \sf m = \frac{10}{ - 2} \\ \boxed{ \sf m = - 5}$

Para encontrar o valor de "n", basta substituir o valor de "m" em uma das equações.

$\sf m - 2n = 1 \\ \sf - 5 - 2n = 1 \\ \sf - 2n = 1 + 5 \\ \sf - 2n = 6 \\ \sf n = \frac{6 }{ - 2} \\ \boxed{ \sf n = - 3}$

Espero ter ajudado