Question

Me ajudem, por favor!
⇒ Determine o segundo termo de uma PG de três termos positivos na qual o produto dos termos é igual a 1.

⇒ Inserir dois meios geométricos entre 1 e 8.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Carina, que está fácil.

a) Determine o segundo termo de uma PG de três termos positivos, na qual o produto desses três termos é igual a "1".
Agora note isto: se esses três termos estão em PG, então poderemos chamar esses três termos da seguinte forma (chamando a razão de "q" e os termos de "x"):

1º termo: x
2º termo: x*q
3º termo: x*q²

Como o produto desses três termos é igual a "1", então fazemos:

x*xq*xq² = 1-- ou, o que é a mesma coisa:
x³*q³ = 1 --- ou, o que é a mesma coisa:
(xq)³ = 1
xq = ∛(1) ----- como ∛(1) = 1, teremos:
xq = 1 ----- Agora note: este produto só será igual a "1" se tanto "x" como "q" forem também iguais a "1". Dessa forma, teremos que:

x = 1 e q = 1.

Assim, vamos ter uma PG estacionária, que é aquela em que a razão é igual a "1", ou seja, essa PG será: (1; 1; 1).
Assim, o segundo termo da PG é:

1 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) Insira dois meios geométricos entre "1" e "8".
Antes veja que sempre que você for inserir meios geométricos entre dois extremos, isso consiste em, primeiro, encontrar a razão (q) da PG.
Depois disso, então é só, a partir do primeiro termo, ir utilizando a razão para encontrar os demais termos.
Então vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma PG para encontrar a razão (q). Veja que vamos ter uma PG de 4 termos, pois já temos os dois extremos (que é o primeiro termo (a1 = 1) e o último termo (a4 = 8)) e ainda vamos inserir mais dois termos. Logo: 2+2 = 4.

Vamos, portanto, aplicar a fórmula do termo geral de uma PG, que é esta:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "8" (que é o último termo); substituiremos "a₁" por "1" (que é o primeiro termo); finalmente, substituiremos "n" por "4" (que é o número de termos da PG). Assim, fazendo essas substituições, teremos:

8 = 1*q⁴⁻¹
8 = 1*q³ --- ou, o que é a mesma coisa:
8 = q³ ------ vamos apenas inverter, ficando:
q³ = 8
q = ∛(8) ----- veja que 8 = 2³. Assim:
q = ∛(2³) ---- note que o "2", por está elevado ao cubo, sairá de dentro da raiz cúbica, ficando:

q = 2 <--- Esta é a razão da PG.

Agora que já dispomos da razão (q = 2), então, para encontrar os demais termos, basta utilizarmos a razão a partir do primeiro termo (a1 = 1). Assim, teremos:

a1 = 1
a2 = 1*2 = 2
a3 = 2*2 = 4
a4 = 4*2 = 8 .

Assim, a PG, com os seus 4 termos será esta (note que vamos marcar com uma "seta" os dois termos inseridos entre os extremos "1" e "8". Veja:

1; 2; 4; 8 <---- Esta é a PG procurada, com os seus dois termos inseridos.
. .↑. ↑ . .

Deu pra entender bem o desenvolvimento das duas quesstões?

OK?
Adjemir.