Question

Me ajudem por favor!!!
Determine no caderno para qual valor de K E R a reta r dada por (k-2)x+3y-(k²+1)=0
a) é paralela ao eixo Ox
b) é perpendicular á reta s: y= x/2+4
c)é paralela á reta t: 8x+12y-12=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Skrillex, que a resolução é simples. É apenas um pouquinho trabalhosa, pois temos que responder às questões propostas nos itens "a", "b" e "c". Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o valor de "k" ∈ R, que está na reta "r" dada pela equação abaixo, nos casos propostos nos itens "a", "b" e "c":

(k-2)x + 3y - (k²+1) = 0 <--- Esta é a equação da reta "r". Agora vamos logo encontrar qual é o coeficiente angular dessa reta "r" (mr). Para isso, vamos encontrar a equação reduzida dessa reta, pois o coeficiente angular de uma reta é visto quando "y" está isolado. E o coeficiente angular será o coeficiente de "x", quando temos o "y" isolado. Então vamos isolar "y" na reta "r". Para isso, vamos repetir a equação da reta "r", que é esta:

(k-2)x + 3y - (k²+1) = 0 ----- deixando "3y" no primeiro membro e passando o restante para o 2º membro, teremos:

3y = - (k-2)x + (k²+1) ---- agora isolando "y", teremos:

y = [-(k-2)x + (k²+1)]/3 --- ou dividindo-se cada fator por "3", teremos;

y = -(k-2)x / 3 + (k²+1) / 3 ----- Como se vê, o coeficiente angular da reta "r" (mr) será:

mr = -(k-2)/3 . (I)

Vamos deixar "guardada" a expressão (I) acima, que dá o coeficiente angular da reta "r" (mr), pois vamos precisar dela para responder às questões propostas nos itens "a'', "b" e "c".

ii) Agora vamos responder às questões propostas nos itens "a", "b" e "c":

ii.a) Determine o valor de "k" para que a reta "r" seja paralela ao eixo dos "x" (ou eixo das abscissas). Veja: para isso, deveremos fazer igual a zero o coeficiente angular da reta "r", pois sendo o seu coeficiente angular igual a "0" iremos ter uma função constante da forma y = m, que é uma reta paralela ao eixo dos "x". Então vamos impor que o coeficiente angular da reta "r" seja igual a zero. E o coeficiente angular da reta "r" (mr" já vimos lá na expressão (I) que é: -(k-2)/3. Assim, fazendo-o igual a "0", teremos:

-(k-2)/3 = 0 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;

-(k-2) = 3*0 ---> -(k-2) = 0 ---> -k + 2 = 0 ---> -k = - 2 ---> k = 2 <--- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, "k" deverá ser igual a "2" para que a reta "r" seja paralela ao eixo dos "x".

ii.b) Determine o valor de "k" para que a reta "r" seja perpendicular à reta "s" cuja equação é esta:

y = (x/2) + 4 ----- veja que o coeficiente angular da reta "s" (ms) é igual a "1/2", pois é o coeficiente de "x" após termos isolado "y". E é o que vemos aí em cima. O "y" já está isolado e assim, o coeficiente angular é coeficiente de "x" e que é igual a "1/2".

Agora note: duas retas serão perpendiculares se o produto entre os seus coeficientes angulares for igual a "-1". Já temos que o coeficiente angular da reta "r" (mr) é igual a -(k-2)/3 [mr = -(k-2)/3] e temos que o coeficiente angular da reta "s'' é "1/2" (ms = 1/2). Então vamos efetuar o produto entre eles e igualar a "-1", para que essas duas retas possam ser perpendiculares. Assim teremos;

mr*ms = -1 ----- substituindo-se "mr' e "ms" por seus valores, teremos:

[-(k-2)/3]*(1/2) = - 1 ----> -(k-2)*1/3*2 = -1 ----> -(k-2)/6 = - 1 ------> multiplicando-se em cruz, temos: ---> -(k-2) = 6*(-1) ---> -(k-2) = - 6 ------> -k+2 = - 6 ----> -k = - 6 - 2 ---> - k = - 8 ---> k = 8 <--- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja, este deverá ser o valor de "k" para que a reta "r" seja perpendicular à reta "s".

ii.c) Determine "k" para que a reta "r" seja paralela à reta "t" cuja equação é esta:

8x + 12y - 12 = 0 <--- Esta é a equação da reta "t". Vamos, então, encontrar o seu coeficiente angular (mt). Para isso, iremos isolar "y" na reta "t" acima e que é esta;

8x + 12y - 12 = 0 ----- deixando "12y" no 1º membro e passando o restante para o 2º, teremos;

12y = - 8x + 12 ---- isolando "y", teremos:

y = (-8x + 12)/12 ---- ou, dividindo-se cada fator por "12", teremos:

y = - 8x/12 + 12/12 ---- efetuando-se as devidas simplificações, teremos;

y = - 2x/3 + 1 <--- Veja que o coeficiente angular da reta "t" . Veja que o coeficiente angular da reta "t" (mt) é igual a "-2/3" (mt = -2/3), pois é o coeficiente de "x" após termos isolado "y". Note que duas retas são paralelas se os seus coeficientes angulares forem iguais. Então vamos igualar os coeficientes angulares da reta "r" (mr = -(k-2)/3) e da reta "t" (mt = -2/3). Assim, fazendo essa igualdade, teremos:

-(k-2)/3 = -2/3 ---- se multiplicarmos ambos os membros por "3" vamos poder simplificar "3" que multiplica pelo "3" que divide em ambos os membros. Então ao multiplicar ambos os membros por "3" iremos ficar apenas com:

-(k-2) = - 2 -----> -k+2 = -2 ---> - k = -2 - 2 ---> -k = -4 ---> k = 4 <--- Esta é a resposta para o item "c". Ou seja, para que a reta "r" seja paralela à reta "t", então "k" deverá ser igual a "4".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.