Question

Me ajudem por favor com essa questão de PA

Answer 1

Esse problema consiste em basicamente demonstrar que se a1, a2,a3,a4 formam nessa ordem uma P.A(chamarei de PA 1), então

$\frac{1}{ \sqrt{a1} + \sqrt{a2} } + \frac{1}{ \sqrt{a2} + \sqrt{a3} } + \frac{1}{ \sqrt{a3} + \sqrt{a4} }$

Também forma uma PA (chamarei de PA 2). Bom vamos lá .

vou escreve a PA 1 da seguinte maneira:

PA 1

$(a1. \: a1q . \: a1 {q}^{2} .a1 {q}^{3} )$

onde os pontos representam vírgulas.

e substituirei agora na PA 2 :

$\frac{1}{ \sqrt{a1} + \sqrt{a1q} } + \frac{1}{ \sqrt{a1q} + \sqrt{a1 {q}^{2} } } + \frac{1}{ \sqrt{a1 {q}^{2} } + \sqrt{a1 {q}^{3} } }$

racionalizando...

$\frac{ \sqrt{a1} - \sqrt{a1q} }{a1 - a1q} + \frac{ \sqrt{a1q} - \sqrt{a1 {q}^{2} } }{a1q - a1 {q}^{2} } + \frac{ \sqrt{a1 {q}^{2} } - \sqrt{a1 {q}^{3} } }{a1 {q}^{2} - a1 {q}^{3} }$

Agora é só faturação:

$\frac{ \sqrt{a1} (1 - \sqrt{q}) }{a1(1 - q)} + \frac{ \sqrt{a1q}(1 - \sqrt{q} ) }{a1q(1 - q)} + \frac{ \sqrt{a1 {q}^{2} } (1 - \sqrt{q} )}{a1 {q}^{2}(1 - q) }$

Multiplicador por( 1- q) e dividindo por :

$( 1 - \sqrt{q} )$

cancelamos vários fatores e só sobrará :

$\frac{ \sqrt{a1}}{a1} + \frac{ \sqrt{a1q} }{a1q} + \frac{ \sqrt{a1 {q}^{2} } }{a1q}$

Usarei a seguinte propiedade:

$\sqrt{k} = {k}^{ \frac{1}{2} }$

$\frac{ {(a1)}^{ \frac{1}{2} } }{a1} + \frac{ {(a1q)}^{ \frac{1}{2} } }{a1q} + \frac{ {(a1 {q}^{2} )}^{ \frac{1}{2} } }{a1 {q}^{2} } \\ {(a1)}^{ \frac{1}{2} - 1} + {(a1q)}^{ \frac{1}{2} - 1} + {(a1 {q}^{2} )}^{ \frac{1}{2} - 1 } \\pa \: 2 = {(a1)}^{ \frac{ - 1}{2} } + {(a1q)}^{ \frac{ - 1}{2} } + {(a1 {q}^{2}) }^{ \frac{ - 1}{2} }$

nesse momento, já conseguimos provar que realmente existe a PA 2,poderíamos parar, mas farei uma pequena mudança pra você visualizar melhor.

$\frac{1}{ \sqrt{a1} } + \frac{1}{ \sqrt{a1q} } + \frac{1}{ \sqrt{a1 {q}^{2} } } \: \: ...$

Então, ta aí. Espero que, se tenha entendido, me ajude com algumas estrelas e quem sabe melhor resposta. Abraço