Question

ME AJUDEM POR FAVOR!!!!!
Com base na PG (2,2√7,14,14√7,...), determine:
a) o 7ºtermo dessa PG
b) a soma dos 16 primeiros termos dessa PG

Answer 1

Primeiro vamos achar a razão dessa PG:

q = a2/a1
q = 2√7 /2      simplificando
q = √7
_________________________________
a) o 7ºtermo dessa PG

an = a1 . q^(n-1)
a7 = 2 . (√7)^(7-1)
a7 = 2 . (√7)^6              transforme a raíz em potencia
a7 = 2 . (7^(1/2))^6     potencia sobre potencia = conversa a base e multiplica                                        os expoentes
a7 = 2 . 7^(6/2)
a7 = 2 . 7³
a7 = 2 . 343
a7 = 686
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b) a soma dos 16 primeiros termos dessa PG

Formula da soma de termos de uma PG
Sn = a1. (q^n  -1)/(q-1)           substituindo:
Sn = 2 . ((√7)^16 -1)/(√7 - 1)

Primeiro vamos "arrumar" em cima

Sn = 2 . ((7^1/2)^16 - 1)/(√7 - 1)
Sn = 2 . ( 7^(16/2) - 1)/(√7 - 1)
Sn = 2 . (7^8  -1)/(√7 - 1)

Agr multiplique em cima e embaixo por √7 + 1
Sn = 2 . (7^8  -1)(√7 + 1)/(√7 - 1)(√7 + 1)

Perceba que embaixo acabou se formando um produto notável:
(a+b)(a-b) = a² - b², com base nisso:

Sn = 2 . (7^8  -1)(√7 + 1)/(7 - 1)       
Sn = 2 . (7^8  -1)(√7 + 1)/6            simplifica o 6 com o 2       
Sn = (7^8  -1).(√7 + 1)/3                  

Sn = (5764801 - 1).(√7 + 1)/3
Sn = 576480 . (√7 + 1)/3                 aplicando a distributiva

Sn = (576480√7 + 576480)/3         simplificando

Sn = 192160√7 + 192160     ou 
Sn = 192160(√7 + 1)

Bons estudos