Question

ME AJUDEM POR FAVOR!

28. Um triângulo retângulo tem catetos medindo 3dm e 4dm. Determine a área da superfície do sólido de revolução gerado pela rotação do triângulo em torno de sua hipotenusa.

29. Um cone reto de 3cm de raio da base tem volume de 18√2π cm³. Calcule a área total da superfície desse cone.

Answer 1

A área total da superfície de um cone é soma da área de sua base com a sua área lateral.

Temos r=3cm

Área da base = πr² = 3²π = 9π cm²

Área lateral do cone = π*R*g, sendo R=raio e g=geratriz.

Vamos encontrar a geratriz. Sabemos que o volume é = 18raiz(2pi)

Sabemos, também, que o volume do cone é dado por:

$V=\frac{\pi*r^{2}*h}{3}$

Sendo h a altura. Logo:

$18\sqrt{2\pi}=\frac{3^{2}h\pi}{3} \\ \frac{18\sqrt{2\pi}}{3\pi}=h \\ h=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}=6\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

A geratriz do cone é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura e o raio da base. Veja a imagem abaixo para compreender isso melhor.

Portanto, por Pitágoras:

$g^{2}=(6\sqrt{\frac{2}{\pi}})^{2}+3^{2} \\ g^{2}=36*\frac{2}{\pi}+9 \\ g^{2}=\frac{72+9\pi}{\pi} \\ g = \sqrt{\frac{9(8+\pi)}{\pi}} \\ g = 3\sqrt{\frac{8+\pi}{\pi}}$

Logo, Área lateral do Cone =

$\pi*R*g =\pi*3*3\sqrt{\frac{8+\pi}{\pi}}=9\pi\sqrt{\frac{8+\pi}{\pi}}=9\sqrt{\pi(8+\pi)}$

Logo, Área total da superfície é:

$9\sqrt{\pi(8+\pi)}+9\pi=9(\pi+\sqrt{\pi(8+\pi)})$

em cm²

Obs: lembre-se que:

$\frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = \frac{\pi^{1}}{\pi^{\frac{1}{2}}}=\pi^{1-\frac{1}{2}}=\pi^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\pi}$

e que:

$\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}=\frac{\pi^{\frac{1}{2}}}{\pi^{1}}=\pi^{\frac{1}{2}-1}=\pi^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{\pi^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}}$