Question

Me ajudem por favor????

Answer 1

As duas circunferências se interceptam nos pontos em que as suas equações se igualam. Vamos primeiramente escrever a equação $\lambda_1$ em sua forma completa. Expandido-a:

$\lambda_1: (x-4)^2 + (y - 4)^2 = 9$

$\lambda_1: x^2 - 8 \cdot x + 16 + y^2 - 8 \cdot x + 16 = 9$

$\lambda_1: x^2 + y^2 - 8 \cdot x - 8 \cdot y + 32-9 = 0$

$\lambda_1: x^2 + y^2 - 8 \cdot x - 8 \cdot y + 23 = 0$

Agora, como as duas equações possuem 0 do lado direito, fazemos $\lambda_1 = \lambda_2$:

$x^2 + y^2 - 8 \cdot x - 8 \cdot y + 23 = x^2 + y^2 - 10 \cdot x - 8 \cdot y + 37$

Passando as constantes para o lado direito e as variáveis para o lado esquerdo, fica assim:

$x^2 + y^2 - x^2 - y^2 + 10 \cdot x + 8 \cdot y - 8 \cdot x - 8 \cdot y = 37 - 23$

Alguns termos se anulam:

$10 \cdot x - 8 \cdot x = 37 - 23$

$2 \cdot x= 14$

$x= \dfrac{14}{2}$

$\boxed{x = 7}$

Já que descobrimos a coordenada x da intersecção, para descobrir a y, basta substituir x por 7 em uma das equações. Usarei a primeira:

$(7-4)^2 + (y-4)^2 = 9$

$3^2 + y^2 - 8 \cdot y + 16 = 9$

$y^2 - 8 \cdot y + 16 = 9 - 9$

$y^2 - 8 \cdot y + 16 = 0$

Utilizaremos a equação de Bhaskara para calcular as raízes do polinômio:

$y = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

No nosso caso, a = 1, b = -8 e c = 16. Substituindo:

$y = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$y = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

$y = \dfrac{8 \pm \sqrt{0}}{2}$

$y = \dfrac{8 \pm 0}{2}$

$y = \dfrac{8}{2}$

$\boxed{y = 4}$

Ou seja, as duas circunferências se interceptam no ponto P = (7,4).