Question

Me ajudem por favor!

Answer 1

Se T (uma transformação linear) é um operador linear sobre R², temos a seguinte aplicação:

T: R² -> R², (x,y) |-> T(x,y) = (x + 3y, x - y). De acordo com o enunciado que nos deu uma base B de R² (Domínio), onde B = (v, w) e que v = (1, 1) e w = (0, 2). Note que B serve de base tanto para o domínio quanto para o contra-domínio pois são iguais.

Logo qualquer vetor u de R² (Domínio) pode ser expresso por

u = (x1, y1) = x1.v + y1.w = x1.(1, ,1) + y1.(0,2)    (I)

e T(u) = x2.v + y2.w = x2(1, 1) + y2.(0, 2)    

ou

T(u) = (x2, y2)    (II)    

De (I) temos que T(u) = T(x1.v + y1.w) = x1.T(v) + y1.T(w)   (III)

Como T(v) e T(w) são vetores do R² (Contra-Domínio), eles também podem ser escritos como uma combinação linear de B.

T(v) = a.v + b.w

T(w) = c.v + d.w

Com (a, b, c, d) escalares

Substituindo esses vetores em (III), temos

T(u) = x1.(a.v + b.w) + x2.(c.v + d.w)

>> T(u) = v.(a.x1 + c.x2) + w.(b.x1 + d.x2)

Comparando essa igualdade com (II), teremos

x2 = (a.x1 + c.x2)

y2 = (b.x1 + d.x2)

Escrevendo na forma matricial

$\left[\begin{array}{ccc}x_2\\y_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a&c\\b&d \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\end{array}\right]$

Essa foi só uma explicação do processo de resolução, usando os valores do problema teremos

$\\ T(v) = T(1,1) = (4,0) = a(1,1) + b(0,2)\\(a, a + 2b) = (4,0)\\ a = 4\ e\ b = -2$

$T(w) = T(0,2) = (6, -2) = c(1,1) + d(0,2)\\(c, c + 2d) = (6,-2)\\c = 6\ e\ d = -4$

Substituindo na matriz teremos

$\\ \ [T]_B = \left[\begin{array}{ccc}4&6\\-2&-4\end{array}\right]$