Matemática, perguntado por emikaelson695, 4 meses atrás

me ajudem, por favor!!!!!

1)Encontre os vértices e focos da cônica e desenhe seu gráfico.

(a) 4x
² + 9y
² − 32x − 36y + 65 = 0.

(b) 25x
² + 4y
²− 250x − 16y + 43 = 0.

2)Se um quadrado com lados paralelos aos eixos coordenados est´a inscrito na elipse

x
²/a² + y
²/b² = 1, expresse a ´area A do quadrado em termos de a e b.

3)Determine os pontos onde a reta y − x + 3 = 0 intercepta, com
A elipse (x − 1)2/49 + (y − 5)2/16 = 1 .

4)Um arco de ponte ´e semi-el´ıptico, com um eixo maior horizontal. A base do arco

tem 30 p´es de diˆametro e a parte mais alta do arco est´a 10 p´es acima do pavimento

horizontal, conforme mostrado na figura. Encontre a altura do arco a 6 p´es do centro

da base.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por williamcanellas

Aplicando os conceitos relacionados as cônicas temos as seguintes soluções.

1a) e 1b) os gráficos das cônicas e seus elementos encontram-se nas figuras abaixo.

2) A área do quadrado vale:

$A=\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$

3) As interseções da reta com a elipse são os pontos A(8,5) e B(296/65, 101/65).

4) A altura a 6 pés de distância do centro será de aproximadamente 9,16 pés.

Geometria Analítica - Cônicas

Uma cônica possui equação geral da forma:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Porém para identificarmos qual a cônica e os seus elementos principais devemos colocá-la na forma reduzida.

Circunferência de centro C e raio r.

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\Rightarrow C(x_0,y_0) \ e \ raio = r$

Elipse de centro C, eixo maior "2a" e eixo menor "2b".

$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\\\\ou\\\\\dfrac{(x-x_0)^2}{b^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}=1\\$

Hipérbole de centro C, eixo real "2a" e eixo imaginário "2b".

$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\\\\ou\\\\\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}-\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}=1\\$

Parábola de vértice V e parâmetro p.

$(y-y_v)^2=2p(x-x_v)\\\\ou\\\\(x-x_v)^2=2p(y-y_v)$

Para obtermos as equações reduzidas basta aplicarmos o método de completar quadrados.

1a) 4x² + 9y² − 32x − 36y + 65 = 0.

Organizando os termos e completando quadrados temos:

$4x^2+9y^2-32x-36y+65=0\\\\4(x^2-8x+\ldots)+9(y^2-4y+\ldots)=-65\\\\4(x^2-8x+16)+9(y^2-4y+4)=-65+64+36\\\\\dfrac{(x-4)^2}{35/4}+\dfrac{(y-2)^2}{35/9}=1$

Obtemos uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo OX e como a = √35 / 2 e b = √35 / 3 o valor de c é dado pelo Teorema de Pitágoras

$a^2=b^2+c^2\\\\35/4 = 35/9 + c^2\\\\c=\dfrac{5\sqrt{7}}{6}$

Como o centro é C(4,2) temos que os vértices são:

V₁(1,04; 2); V₂(6,96; 2); V₃(4; 3,97); V₄(4; 0,02)

Seus focos serão: F₁(1,79; 2) e F₂(6,20; 2)

1b) 25x² + 4y²− 250x − 16y + 43 = 0

Organizando os termos e completando quadrados temos:

$25x^2+4y^2-250x-16y+43=0\\\\25(x^2-10x+\ldots)+4(y^2-4y+\ldots)=-43\\\\25(x^2-10x+25)+4(y^2-4y+4)=-43+625+16\\\\\dfrac{(x-5)^2}{598/25}+\dfrac{(y-2)^2}{598/4}=1$

Obtemos uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo OY e como a = √598 / 2 e b = √598 / 5 o valor de c é dado pelo Teorema de Pitágoras

$a^2=b^2+c^2\\\\598/4 = 598/25 + c^2\\\\c=11,20$

Como o centro é C(5,2) temos que os vértices são:

V₁(5; -10,22); V₂(5; 14,22); V₃(9,89; 2); V₄(0,11; 2)

Seus focos serão: F₁(5; -9,20) e F₂(5; 13,20)

2) Dada a equação da elipse x²/a² + y²/b² = 1, para que o quadrado seja inscrito na elipse é necessário que x = ± y e vice-versa y = ± x, ou seja devemos ter os seguintes vértices para o quadrado (x, x), (x, -x), (-x, x) e (-x, -x), fazendo x = y teremos:

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\\\\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1\\\\a^2x^2+b^2x^2=a^2b^2\\\\x^2(a^2+b^2)=a^2b^2\\\\x^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$

Mas neste caso temos x² é a área do quadrado relativo ao primeiro quadrante apenas, assim o quadrado inscrito na elipse é o quadruplo deste quadrado, logo

$A_{quadrado}=\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$

3) Fazendo y = x - 3 e substituindo na equação da elipse teremos:

$\dfrac{(x-1)^2}{49}+\dfrac{(y-5)^2}{16}=1\\\\16(x-1)^2+49(x-8)^2=784\\\\x'=296/65 \ e \ x''=8$

Substituindo na equação da reta teremos os pontos A(8,5) e B(296/65, 101/65)

4) Com base nos dados do enunciado podemos colocar o centro como o centro do plano cartesiano e semieixo maior 15 pés e semieixo menor 10 pés, assim teremos a seguinte equação da elipse:

$\dfrac{x^2}{225}+\dfrac{y^2}{100}=1\\$