ME AJUDEM POR FAVOR
1- Considere a >1, determine o valor de x na imagem abaixo:
x = log a² a + log a a²
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá,
P/ resolvermos essa questão nós devemos encontrar o valor dos logaritmos separadamente e depois somar os resultados encontrados (Nós vamos fazer isso porque as bases dois log's dados são diferentes, uma vale a² e a outra vale a).
Sabendo que x é dado por :
x = log ₐ² ᵃ + log ₐ ᵃ² nós temos que :
log ₐ² ᵃ = n, em que :
base → a²
logaritmando → a
logaritmo → n
Como o logaritmo nada mais é do que o número que eu devo elevar a minha base p/ chegar no valor do logaritmando nós ficamos com o seguinte :
(a²)ⁿ = a¹
P/ resolvermos o 1º membro basta lembrarmos de uma propriedade da potenciação que diz que :
(a²)³ → a²ˣ³ = a⁶ (Quando nós temos uma potencia de potencia basta multiplicarmos os expoentes). Por isso (a²)ⁿ = a²ⁿ :
a²ⁿ = a¹
Quando nós caímos em uma equação exponencial nós devemos igualar as bases dos dois lados da nossa equação. Note que as nossas bases já são iguais, sendo assim basta igualar os expoentes. Desse modo nós ficamos com o seguinte :
2n = 1
n = 1/2 e como n = logaritmo, então o valor de log ₐ² ᵃ é 1/2. Agora é só calcularmos o outro log da mesma maneira que nós fizemos anteriormente. Veja :
log ₐ ᵃ² = b, em que :
base → a
logaritmando → a²
logaritmo → b
Elevando a base ao logaritmo e igualando com o valor do logaritmando nós chegamos na seguinte igualdade :
aᵇ = a²
Se as bases são iguais nós também podemos igualar os expoentes. Portanto :
b = 2 e como b = logaritmo, então o valor de log ₐ ᵃ² é 2. Agora é só substituir esses valores na expressão que define o x e encontrar o seu respectivo valor. Observe :
x = log ₐ² ᵃ + log ₐ ᵃ²
x = 1/2 + 2
Transformando o 1/2 em decimal p/ facilitar a nossa conta nós ficamos com : (Lembrando que p/ transformar o 1/2 em decimal basta dividir o numerador pelo denominador)
x = 0,5 + 2
x = 2,5 que em forma de fração seria x = 5/2