Question

me ajudem por favor!!! 1- calcule o determinante da matriz abaixo aplicando o teorema de Laplace. ( Dica: escolher a linha ou coluna que tenha maior quantidade de zero ou zeros)​

Answer 1

Explicação passo a passo:

Vemos que a fila que tem o elemento 0 é a linha 3 e a coluna 4.

Vamos, então, escolher a coluna 4, cujos elementos são: 1, 3, 0 e 2.

O determinante será a multiplicação de cada elemento desta coluna pelo seu cofator.

O cofator define-se pela fórmula:   $C_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij}$, onde i e j são a linha e a coluna dos elementos da coluna escolhida.

    1 → 1ª linha e 4ª coluna; então $C_{14}$

    3 → 2ª linha e 4ª coluna; então $C_{24}$

    0 → 3ª linha e 4ª coluna; então  $C_{34}$

    2 → 4ª linha e 4ª coluna; então  $C_{44}$

Então, o determinante ficará

    1 · C₁₄ + 3 · C₂₄ + 0 · C₃₄ + 2 · C₄₄

Como 0 · C₃₄ = 0, então ficará:  1 · C₁₄ + 3 · C₂₄ + 2 · C₄₄

Agora vamos calcular os cofatores C₁₄, C₂₄ e C₄₄

Cálculo de C₁₄

    $C_{14}=(-1)^{1+4}.D_{14}$  →  $C_{14}=(-1)^{5}.D_{14}$  →  $C_{14}=-D_{14}$

    Cálculo de D₁₄ (elimine a 1ª linha e a 4ª coluna)

        $D_{14}=\left[\begin{array}{ccc}5&2&2\\7&4&-5\\1&-1&11\end{array}\right]$  →  $\left[\begin{array}{ccc}5&2&2\\7&4&-5\\1&-1&11\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}5&2\\7&4\\1&-1\end{array}\right]$

    diagonal principal → 5×4×11 + 2×(-5)×1 + 2×7×(-1) = 220 - 10 - 14 = 196

    diagonal secundária → 2×4×1 + 5×(-5)×(-1) + 2×7×11 = 8 + 25 + 154 = 187

         D₁₄ = 196 - 187 = 9

         C₁₄ = -D₁₄ → -D₁₄ = 9 → D₁₄ = -9 →  C₁₄ = -9

Cálculo de C₂₄

    $C_{24}=(-1)^{2+4}.D_{24}$  →  $C_{24}=(-1)^{6}.D_{24}$  →  $C_{24}=D_{24}$

    Cálculo de D₂₄ (elimine a 2ª linha e a 4ª coluna)

         $D_{24}=\left[\begin{array}{ccc}3&1&-2\\7&4&-5\\1&-1&11\end{array}\right]$  →  $\left[\begin{array}{ccc}3&1&-2\\7&4&-5\\1&-1&11\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}3&1\\7&4\\1&-1\end{array}\right]$

    diagonal principal → 3×4×11 + 1×(-5)×1 + (-2)×7×(-1) = 132 - 5 + 14 = 141

    diagonal secundária → (-2)×4×1 + 3×(-5)×(-1) + 1×7×11 = -8 + 15 + 77 = 84

         D₂₄ = 141 - 84 = 57

         C₂₄ = D₂₄ = 57

Cálculo de C₄₄

    $C_{44}=(-1)^{4+4}.D_{44}$  →  $C_{44}=(-1)^{8}.D_{44}$  →  $C_{44}=D_{44}$

    Cálculo de D₄₄ (elimine a 4ª linha e a 4ª coluna)

         $D_{44}=\left[\begin{array}{ccc}3&1&-2\\5&2&2\\7&4&-5\end{array}\right]$  →  $\left[\begin{array}{ccc}3&1&-2\\5&2&2\\7&4&-5\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\\7&4\end{array}\right]$

    diagonal principal → 3×2×(-5) + 1×2×7 + (-2)×5×4 = -30 + 14 - 40 = -56

    diagonal secundária → (-2)×2×7 + 3×2×4 + 1×5×(-5) = -28 + 24 - 25 = -29

         D₄₄ = -56 - (-29) = -27

         C₄₄ = D₄₄ = -27

Cálculo do determinante

    D = 1 · C₁₄ + 3 · C₂₄ + 0 · C₃₄ + 2 · C₄₄

    D = 1 · (-9) + 3 · 57 + 0 + 2 · (-27)

    D = -9 + 171 + 0 - 54

    D = 108