Question

Me ajudem por favoorr, Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são reto:
Se o segmento AD= 6 dm, o segmento AC= 11 dm e o segmento EC= 3 dm, as medidas possíveis de AB, em DM, são:

a) 4,5 e 6,5.
b)8 e 3
c) 9 e 2
d)7,5 e 3,5
e) 7 e 4

Answer 1

Primeiramente, descobrindo a hipotenusa de DB e EB:

$(DB)^2 = 6^2 + x^2 \\ DB = \sqrt{36 + x^2} \\ \\ \\ (EB)^2 = (11 - x)^2 + 3^2 \\ EB = \sqrt{x^2 -22x + 130}$

Agora, descobrindo DE:

$(DE)^2 = 3^2 + 11^2 \\ DE = \sqrt{130}$

Como o ângulo oposto a DE é reto, temos um triângulo retângulo com catetos em DB e EB, agora é só usar Pitágoras novamente:

$(DB)^2 + (EB)^2 = (DE)^2 \\ (\sqrt{36 + x^2})^2 + (\sqrt{x^2 -22x + 130})^2 = (\sqrt{130})^2 \\ \\ 36 + x^2 + x^2 -22x + 130 = 130 \\ 2x^2 - 22x + 36 = 130 - 130 \\ 2x^2 - 22x + 36 = 0 \\ \\ x^2 -11x + 18 = 0$

Dois números que somados dão 11 e multiplicados dão 18 (soma e produto da equação do segundo grau), são eles 9 e 2. Letra c)

Answer 2

As medidas possíveis de AB, em dm, são 9 e 2.

Se o segmento AC mede 11 dm, então vamos considerar que BC mede x. Consequentemente, AB medirá 11 - x.

Perceba que os triângulos ABD e BEC são semelhantes.

Sendo assim, é verdade que:

6/(11 - x) = x / 3

Multiplicando cruzado:

6.3 = x(11 - x)

18 = 11x - x²

x² - 11x + 18 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-11)² - 4.1.18

Δ = 121 - 72

Δ = 49

$x=\frac{11+-\sqrt{49}}{2}$

$x=\frac{11+-7}{2}$

$x'=\frac{11+7}{2}=9$

$x''=\frac{11-7}{2}=2$.

Como x é uma medida, então temos que pegar o resultado positivo.

Acima, vemos que os dois resultados são válidos.

Portanto, a alternativa correta é a letra c).

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