Question

ME AJUDEM POR FAVOOR
Uma cidade possui 800 mil habitantes, e a taxa de crescimento populacional anual é de cerca de 10%. O tempo aproximado em anos, para que essa população aumente em 50% é igual a:
a) log 1,5 2
b) log 1,5 1,1
c) log 1,1 8
d) log 1,5 8
e) log 1,1 1,5

Answer 1

Resposta:

e) log de 1,5 na base 1,1

Explicação passo a passo:

Considerando que a população inicial é 800 mil habitantes, um aumento de 50% significa atingir 1 milhão e duzentos mil habitantes. Utilizando a função básica de crescimento de população:

$Hf = Hi * C^{t}$

Sendo:

Hf a quantidade de habitantes final;

Hi a quantidade de habitantes inicial;

C a taxa de crescimento da população;

t o tempo decorrido em ano.

Inserindo os dados do enunciado:

$1,2*10^6 = 5*10^5 * 1,1^t$

$\frac{1,2*10^6}{8*10^5} =1,1^t$

$1,5 = 1,1^t$

Considerando que a forma do logaritmo é:

㏒ₙa=b

"resolvendo" esse log:

$n^b = a$

Então transcrevendo $1,5 = 1,1^t$ para log:

t = ㏒₁.₁1,5

Answer 2

O tempo para que essa população aumente em 50% é igual a log₁,₁ 1,5   (Alternativa E).

$\dotfill$

A tarefa propõe uma questão que aborda sobre função exponencial e cuja solução recai em uma equação exponencial e, consequentemente, o uso de logaritmos. É interessante observar, no entanto, que o tempo necessário para tal aumento independe da população inicial.

Seja P₀ a população inicial. Como queremos que a população aumente 50%, logo desejamos encontrar t  tal que:

1,5 * P₀ = P₀ * 1,1^(t )

Observe que nesta equação, 1,5 * P₀ dá o aumento de 50% em P₀ e P₀ * 1,1^(t ) dá t  aumentos sucessivos de 10% em P₀.

Dividindo ambos os lados por P₀ na equação,

1,5 = 1,1^(t )

Aplicando o logaritmo dos dois lados:

log 1,5 = log 1,1^(t )

Usando da propriedade do logaritmo da potência:

log 1,5 = t * log 1,1

t = log 1,5 / log 1,1

Usando da propriedade de mudança de base:

t = log₁,₁ 1,5   (Alternativa E)

Até mais!