Question

me ajudem pfvvv

Considere a matriz A=[aij], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrados a seguir

aij= { 1,se i ≠ j
{ o, se i = j

é correto afirmar que o determinante da matriz A é igual a -4?

preciso do calculo.
obrigada <3

Answer 1

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{Det(A)}~\pink{=}~\blue{ -3 }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Dani, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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$\sf\LARGE\blue{A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\\\end{array}\right]}$

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☔ Segundo o Teorema de Laplace podemos encontrar a Determinante de uma matriz de ordem n através do seguinte algoritmo

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1. Escolhemos uma linha k da matriz (de preferência que tenha um ou mais termos nulos);
2. Somamos os produtos de cada elemento desta linha multiplicado pelo respectivo Cofator da matriz para aquela linha e coluna.

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf Det(A_{n,~n}) = \displaystyle\sum_{j = 1}^{n} a_{k,~j} \times A_{k,~j} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf a_{k,~j} }}$ sendo o elemento da linha k e da coluna j;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf A_{k,~j} }}$ sendo o  cofator da matriz A resultante da exclusão da linha k e da coluna j, sendo encontrado pela equação

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\orange{ A_{k,~j} = (-1)^{k + j} \cdot D_{k,~j}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf D_{k,~j} }}$ sendo a Determinante da matriz A resultante da exclusão da linha k e da coluna j.

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☔ Escolhendo a primeira linha (i = k = 1) teremos

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➡ $\blue{\sf Det(A) = a_{1, 1} \cdot (-1)^{1 + 1} \cdot D_{1, 1} + a_{1, 2} \cdot (-1)^{1 + 2} \cdot D_{1, 2} + a_{1, 3} \cdot (-1)^{1 + 3} \cdot D_{1, 3} + a_{1, 4} \cdot (-1)^{1 + 4} \cdot D_{1, 4}}$

$\large\blue{\sf = 0 \cdot (-1)^{2} \cdot D_{1, 1} + 1 \cdot (-1)^{3} \cdot D_{1, 2} + 1 \cdot (-1)^{4} \cdot D_{1, 3} + 1 \cdot (-1)^{5} \cdot D_{1, 4} }$

$\large\blue{\sf = -D_{1, 2} + D_{1, 3} - D_{1, 4} }$

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☔ Pelo Método de Sarrus obtemos que

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$\sf\Huge\blue{\left[\begin{array}{cccc}.&.&.&.\\1&.&1&1\\1&.&0&1\\1&.&1&0\\\end{array}\right]}$

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$\LARGE\blue{\sf D_{1, 2} = \left[\begin{array}{ccc|cc}1&1&1&1&1\\1&0&1&1&0\\1&1&0&1&1\\\end{array}\right]}$

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➡ $\blue{\sf Det(D_{1, 2}) = 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}$

$\Large\blue{\sf Det(D_{1, 2}) = 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 1}$

$\Large\blue{\sf Det(D_{1, 2}) = 1}$

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$\sf\Huge\blue{\left[\begin{array}{cccc}.&.&.&.\\1&0&.&1\\1&1&.&1\\1&1&.&0\\\end{array}\right]}$

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$\LARGE\blue{\sf D_{1, 3} = \left[\begin{array}{ccc|cc}1&0&1&1&0\\1&1&1&1&1\\1&1&0&1&1\\\end{array}\right]}$

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➡ $\blue{\sf Det(D_{1, 3}) = 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}$

$\Large\blue{\sf Det(D_{1, 3}) = 0 + 0 + 1 - 1 - 0 - 1}$

$\Large\blue{\sf Det(D_{1, 3}) = -1}$

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$\sf\Huge\blue{\left[\begin{array}{cccc}.&.&.&.\\1&0&1&.\\1&1&0&.\\1&1&1&.\\\end{array}\right]}$

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$\LARGE\blue{\sf D_{1, 4} = \left[\begin{array}{ccc|cc}1&0&1&1&0\\1&1&0&1&1\\1&1&1&1&1\\\end{array}\right]}$

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➡ $\blue{\sf Det(D_{1, 4}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot 1}$

$\Large\blue{\sf Det(D_{1, 4}) = 1 + 0 + 1 - 1 - 0 - 0}$

$\Large\blue{\sf Det(D_{1, 4}) = 1}$

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☔ Retornando, enfim, para nossa equação, temos que

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➡ $\large\blue{\sf Det(A) = -D_{1, 2} + D_{1, 3} - D_{1, 4} }$

$\Large\blue{\sf = -1 - 1 - 1}$

$\Large\blue{\sf = -3}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{Det(A)}~\pink{=}~\blue{ -3 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

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